TOPOLOGIETopologie générale
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Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M varie continûment et, si M tend vers M0, la corde M0M a une position limite qui est T.
Définition de la tangente à une courbe.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
En disant que M0M varie continûment, on exprime que, si M s'approche indéfiniment d'un point M1, la droite M0M s'approche indéfiniment de la droite M0M1 ; en disant que M0M a une position limite T, on exprime que, si M s'approche indéfiniment de M0, la droite M0M s'approche indéfiniment de T. On peut donc donner les définitions suivantes :
– L'application f de X dans Y est continue en x1 si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de f (x1) est que x soit assez voisin de x1 ;
– L'application f de X – x0 dans Y a une limite y0 en x0, si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de y0 est que x soit assez voisin de x0.
Pour que ces définitions deviennent des définitions mathématiques, il faut donner un sens précis aux termes « f (x) voisin de f (x1) (ou de y0) » et « x assez voisin de x1 (ou de x0) ». Dans les chapitres 1 et 2, on s'occupera d'abord de définir cette notion de voisinage, puis on donnera les principales propriétés des fonctions continues et des limites. Les chapitres 3 et 4 seront consacrés à l'étude de deux classes d'espaces topologiques très importantes, les espaces compacts et les espaces connexes.
La notion d'espace topologique contient en particulier celle d'espace métrique (cf. espaces métriques) dont l'étude est une excellente introduction à la topologie générale.
Espaces topologiques
Voisinages et continuité
On a vu que, pour définir les notions de limite et de continuité, on devait donner un moyen de savoir si deux points sont voisins (resp. assez voisins). Pour cela, il est assez naturel de mesurer la distance de ces deux points. On peut donc parler de continuité ou de limites pour les applications de X dans Y, s [...]
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Écrit par :
- Claude MORLET : professeur à l'université de Nancy
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Voir aussi
- ADHÉRENCE mathématiques
- THÉORÈME DE BOLZANO-WEIERSTRASS
- AXIOME DE BOREL-LEBESGUE
- ESPACE CONNEXE
- TOPOLOGIES DE LA CONVERGENCE
- CONVERGENCE UNIFORME
- PARTOUT DENSE
- DISTANCE mathématiques
- ESPACE COMPACT
- ESPACE LOCALEMENT COMPACT
- ESPACE SÉPARÉ
- FERMÉ mathématiques
- FERMETURE topologie
- FILTRE & ULTRAFILTRE mathématique
- HOMÉOMORPHISME
- INTÉRIEUR topologie
- OUVERT mathématiques
- POINT D'ACCUMULATION ou VALEUR D'ADHÉRENCE D'UNE SUITE
- TOPOLOGIE DISCRÈTE
- TOPOLOGIE PRODUIT
Pour citer l’article
Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie générale », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/