TOPOLOGIETopologie générale

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M₀M varie continûment et, si M tend vers M₀, la corde M₀M a une position limite qui est T.

Tangente à une courbe

Définition de la tangente à une courbe. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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En disant que M₀M varie continûment, on exprime que, si M s'approche indéfiniment d'un point M₁, la droite M₀M s'approche indéfiniment de la droite M₀M₁ ; en disant que M₀M a une position limite T, on exprime que, si M s'approche indéfiniment de M₀, la droite M₀M s'approche indéfiniment de T. On peut donc donner les définitions suivantes :

– L'application f de X dans Y est continue en x₁ si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de f (x₁) est que x soit assez voisin de x₁ ;

– L'application f de X – x₀ dans Y a une limite y₀ en x₀, si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de y₀ est que x soit assez voisin de x₀.

Pour que ces définitions deviennent des définitions mathématiques, il faut donner un sens précis aux termes « f (x) voisin de f (x₁) (ou de y₀) » et « x assez voisin de x₁ (ou de x₀) ». Dans les chapitres 1 et 2, on s'occupera d'abord de définir cette notion de voisinage, puis on donnera les principales propriétés des fonctions continues et des limites. Les chapitres 3 et 4 seront consacrés à l'étude de deux classes d'espaces topologiques très importantes, les espaces compacts et les espaces connexes.

La notion d'espace topologique contient en particulier celle d'espace métrique (cf. espaces métriques) dont l'étude est une excellente introduction à la topologie générale.

Espaces topologiques

Voisinages et continuité

On a vu que, pour définir les notions de limite et de continuité, on devait donner un moyen de savoir si deux points sont voisins (resp. assez voisins). Pour cela, il est assez naturel de mesurer la distance de ces deux points. On peut donc parler de continuité ou de limites pour les applications de X dans Y, si l'on a défini la distance entre les points de X et la distance entre les points de Y, c'est-à-dire si X et Y sont des espaces métriques (cf.  : espaces métriques).

Ce point de vue est suffisant tant que X et Y sont R, R^p, les surfaces de R³, etc., et, plus généralement, pour tous les problèmes géométriques. C'est l'analyse qui a mis ses lacunes en évidence ; il arrive, en effet, que l'on dispose d'applications de R^p dans un ensemble de fonctions E qui, pour des raisons propres au problème à résoudre, doivent être considérées comme continues, mais qu'il n'existe aucune métrique sur E qui les rende continues. Il faut donc donner un moyen, autre que la distance, pour savoir si deux éléments a et b de E sont voisins.

Pour cela, on se donne une famille Va de sous-ensembles de E que l'on appelle les voisinages de a dans E ; pour dire « comment b est voisin de a », on dit dans quel voisinage de a il se trouve. Si, pour tout élément a de E, on a défini les voisinages de a dans E, on dit que E est un espace topologique ; les éléments de E sont alors appelés des points. Si E et F sont deux espaces topologiques et si f est une application de E dans F, on dit que f est continue au point a de E si : Pour tout voisinage V de f (a) dans F, il existe un voisinage W de a dans E tel que, pour tout point b de W, le point f (b) soit dans V. On dit que f est continue si elle est continue en chaque point de E. Tout espace métrique X devient naturellement un espace topologique si l'on choisit pour voisinages d'un point x les sous-ensembles de X qui contiennent une boule de centre x et de rayon strictement positif. On vérifie alors que, si X et Y sont métriques, pour une application f de X dans Y les deux définitions de la continuité que l'on a données coïncident.

On impose aux voisinages de vérifier les quatre conditions suivantes :

(V₁) Tout voisinage de a contient a ;

(V₂) Tout sous-ensemble de l'espace E qui contient un voisinage de a est un voisinage de a ;

(V₃) L'intersection d'un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a ;

(V₄) Pour tout voisinage V de a, il existe un voisinage W de a tel que V soit voisinage de chacun des points de W.

Ces conditions permettent d'étendre au cas des espaces topologiques les principales propriétés des fonctions continues de R dans R. En particulier, toute somme, tout produit et tout quotient de fonctions numériques continues sont encore des fonctions numériques continues. On démontre aussi que la composée de deux applications continues est une application continue.

Ouverts et fermés

On dit qu'un sous-ensemble U de l'espace topologique E est ouvert s'il est voisinage de chacun de ses points. Les ouverts d'un espace topologique E vérifient les trois propriétés suivantes :

(O₁) L'ensemble E et l'ensemble vide sont ouverts ;

(O₂) Toute réunion d'ouverts est un ouvert ;

(O₃) Toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.

La structure topologique d'un espace est déterminée par la connaissance de ses ouverts ; en effet, les voisinages d'un point a de E sont les sous-ensembles de E qui contiennent un ouvert qui contient a.

Il est clair que la donnée des ouverts de E est équivalente à celle des sous-ensembles de E dont le complémentaire dans E est ouvert ; ces sous-ensembles sont appelés les fermés de E ; ils vérifient les trois conditions suivantes :

(F₁) L'ensemble E et l'ensemble vide sont fermés ;

(F₂) Toute intersection de fermés est un fermé ;

(F₃) Toute réunion d'un nombre fini de fermés est un fermé.

Soit A un sous-ensemble d'un espace topologique E. D'après (O₂), la réunion de tous les ouverts de E contenus dans A est un ouvert qui est évidemment le plus grand ouvert (au sens de l'inclusion) contenu dans A ; on l'appelle l'intérieur de A et on le note Å. L'intérieur d'un ensemble peut être vide sans que cet ensemble le soit, comme on le voit en prenant, par exemple, pour E l'ensemble R des nombres réels muni de sa topologie usuelle, et pour A l'ensemble Q des nombres rationnels. Les ensembles ouverts sont caractérisés par le fait qu'ils sont égaux à leur intérieur.

De même, d'après (F₂), l'intersection de tous les fermés contenant A est un fermé Ā qui est le plus petit fermé contenant A : on l'appelle la fermeture ou l'adhérence de A. On vérifie facilement qu'un point x ∈ E appartient à Ā si et seulement si, pour tout voisinage V de x, on a V ∩ A ≠ ∅ ; un tel point est dit adhérent à A. On dit enfin que A est partout dense dans E si Ā = E, ce qui revient à dire que tout ouvert non vide de E rencontre A.

La considération des ouverts et des fermés donne une caractérisation très simple des applications continues. En effet, pour qu'une application f de E dans F soit continue, il faut et il suffit que, pour tout ouvert V de F, l'ensemble f ^-1(V) soit un ouvert [...]

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