TOPOLOGIETopologie générale

Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M₀M varie continûment et, si M tend vers M₀, la corde M₀M a une position limite qui est T.

Tangente à une courbe

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Définition de la tangente à une courbe. 

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En disant que M₀M varie continûment, on exprime que, si M s'approche indéfiniment d'un point M₁, la droite M₀M s'approche indéfiniment de la droite M₀M₁ ; en disant que M₀M a une position limite T, on exprime que, si M s'approche indéfiniment de M₀, la droite M₀M s'approche indéfiniment de T. On peut donc donner les définitions suivantes :

– L'application f de X dans Y est continue en x₁ si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de f (x₁) est que x soit assez voisin de x₁ ;

– L'application f de X – x₀ dans Y a une limite y₀ en x₀, si une condition suffisante pour que f (x) soit voisin de y₀ est que x soit assez voisin de x₀.

Pour que ces définitions deviennent des définitions mathématiques, il faut donner un sens précis aux termes « f (x) voisin de f (x₁) (ou de y₀) » et « x assez voisin de x₁ (ou de x₀) ». Dans les chapitres 1 et 2, on s'occupera d'abord de définir cette notion de voisinage, puis on donnera les principales propriétés des fonctions continues et des limites. Les chapitres 3 et 4 seront consacrés à l'étude de deux classes d'espaces topologiques très importantes, les espaces compacts et les espaces connexes.

La notion d'espace topologique contient en particulier celle d'espace métrique (cf. espaces métriques) dont l'étude est une excellente introduction à la topologie générale.

Espaces topologiques

Voisinages et continuité

On a vu que, pour définir les notions de limite et de continuité, on devait donner un moyen de savoir si deux points sont voisins (resp. assez voisins). Pour cela, il est assez naturel de mesurer la distance de ces deux points. On peut donc parler de continuité ou de limites pour les applications de X dans Y, s [...]

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Espace projectif réel P2 (R)
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