TOPOLOGIETopologie générale

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Limites

Exemples

Dans l'analyse classique, le mot limite peut désigner des choses apparemment très diverses dont on va citer quelques exemples.

1. Limite d'une suite numérique. Soit (xn) une suite de nombres ; on dit qu'elle converge et que sa limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout ≥ N, on ait l'inégalité |y − xn| ≤ ε.

2. Limite uniforme d'une suite de fonctions. Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur un ensemble X ; on dit qu'elle converge uniformément et que sa limite est g si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N et pour tout élément z de X, on ait l'inégalité |g(z) − fn(z)| ≤ ε.

3. Limite en + ∞ d'une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[. Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle [a, + ∞[ ; on dit qu'elle a une limite en + ∞ et que cette limite est le nombre y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre N tel que l'inégalité x ≥ sup (a, N) entraîne l'inégalité |y − (x)| ≤ ε.

4. Limite à droite en a d'une fonction numérique définie sur ]ab[. Soit f une fonction numérique définie sur ]ab[ ; on dit que f a une limite à droite en a et que cette limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un nombre strictement positif α tel que, pour tout point x qui vérifie ≤ a + α, on ait |y − (x)| ≤ ε.

Filtres

Il existe une certaine parenté entre ces définitions ; pour dégager ce qu'elles ont de commun, H. Cartan a introduit la notion de filtre. Un filtre sur l'ensemble A est, par définition, un ensemble F de parties de A, qui vérifie les trois conditions suivantes :

a) Tout élément de F est non vide ;

b) L'intersection d'un nombre fini d'éléments de F est un élément de F ;

c) Toute partie de A qui contient un élément de F est elle-même un élément de F.

Si f est une application de A dans un espace topologique X, on dit que le point y de X est limite de f suivant le filtre F si, pour tout voisinage V de y dans X, il existe un élément F de F tel que (a) soit dans V chaque fois que


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Tangente à une courbe

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Espaces topologiques : recollement

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Pour citer l’article

Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie générale », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/