SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii^e siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une définition des limites, remontent seulement au début du xix^e siècle, avec les travaux d'Abel, de Cauchy et de Gauss. L'étude des séries de nombres réels ou complexes et celle des séries de fonctions (séries entières, séries de Fourier, etc.) peuvent être considérées comme des cas particuliers de la théorie des séries d'éléments d'un espace vectoriel normé. On peut regrouper la notion de produit infini, utilisée par Euler au xviii^e siècle, avec celle de série, à condition de se placer dans le cadre des groupes topologiques séparés.

Séries

Soit G un groupe commutatif topologique séparé, dont la loi est notée additivement. On appelle série d'éléments de G un couple A = ((u_n), (s_n)) constitué de deux suites d'éléments de G telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

On dit que la série A est convergente ou divergente suivant que la suite (s_n) converge ou non. Lorsque la série A est convergente, la limite s de (s_n) s'appelle somme de A et se note encore :

Il est immédiat que, si la série A converge, son terme général tend vers 0. Examinons les liens entre suites et séries. Pour toute suite (u_n) d'éléments de G, il existe une série A et une seule dont le terme général est (u_n) ; sa somme à l'ordre n est définie par la relation (1). Inversement, pour toute suite (s_n) d'éléments de G, il existe une série A et une seule dont la suite des sommes partielles est (s_n) ; son terme général est défini par les relations :

Ainsi, par définition, l'étude de la convergence d'une série se ramène à celle d'une suite. Réciproquement, les règles de convergence des séries peuvent servir à étudier la convergence d'une suite par l'intermédiaire de la série des différences.

Le cas fondamental dans la théorie des séries est celui où G est le groupe sous-jacent à un espace vectoriel normé E. Les séries d'éléments de E constituent un espace vectoriel ; les séries convergentes constituent un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel précédent, et l'application qui à toute série convergente fait correspondre sa somme est linéaire. La multiplication de Cauchy des séries d'éléments d'une algèbre normée ne présente d'intérêt que dans le cas des séries entières ; nous n'indiquerons ici que la multiplication des familles sommables (cf. infra).

Lorsque l'espace vectoriel normé E est complet, le critère de convergence de Cauchy prend la forme suivante : Pour qu'une série A = ((u_n), (s_n)) converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe un entier naturel n₀ tel que, pour tout couple (q, r) d'entiers naturels avec r > q ≥ n₀, on ait :