SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
Séries multiples
La théorie des familles sommables s'applique notamment aux séries multiples. Étant donné un espace de Banach E, un entier naturel non nul r et une partie infinie I de Zr, on appelle série r-uple d'éléments de E indexée par I tout couple A = ((ut), (sJ)) constitué d'une suite r-uple d'éléments de E et d'une famille (sJ) d'éléments de E, où J parcourt l'ensemble des parties finies de I, telles que :
la suite (ut), t ∈ I, s'appelle terme général de la série A.
On dit qu'une telle série est absolument convergente si la famille (ut), t ∈ I, est absolument sommable. La somme :
s'appelle alors comme la série A.
Prenons, par exemple, I = Zr − {0}, I+ = Nr − {0}, α un nombre réel non nul et, pour tout élément t = (n1, n2, ..., nr) de I, posons :
les séries r-uples de termes généraux (ut), t ∈ I, et (ut), t ∈ I+, convergent si et seulement si α > r. Plus généralement, pour toute norme sur l'espace vectoriel Rr, les séries r-uples de termes généraux :
convergent si et seulement si α > r.
Soit maintenant A une série double de terme général (un,p), où (n, p) parcourt N2. Si cette série est convergente, alors, pour tout entier naturel n, la série de terme général (un,p), p ∈ N, est convergente, et la série de terme général (vn) avec :
est convergente. De plus :
dite formule de sommation par lignes des séries doubles. On peut énoncer de même une formule de sommation par colonnes. Les réciproques sont vraies si A est une série de nombres réels positifs.
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Écrit par
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
Classification
Pour citer cet article
Lucien CHAMBADAL. SÉRIES ET PRODUITS INFINIS [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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BOREL ÉMILE (1871-1956)
- Écrit par Maurice FRÉCHET
- 2 290 mots
Sommation des séries divergentes.L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers... -
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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Cet exemple nous conduit tout naturellement à signaler l'apport essentiel des années 1660, l'introduction systématique des séries infinies. Certes, l'intérêt porté aux algorithmes infinis apparaît dès l'Antiquité et se retrouve dans certaines spéculations scolastiques. Dès 1593, Viète avait développé... -
EULER LEONHARD (1707-1783)
- Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
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Euler était exceptionnellement doué pour le calcul, aussi bien numérique que formel. Dans l'Introductio, il manipule les séries et les produits infinis d'une façon prodigieuse et il trouve des résultats très remarquables, comme le développement de sin z en produit infini :qui lui donne...
-
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
- Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
- 4 886 mots
...avaient totalement négligé d'asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument... - Afficher les 13 références
Voir aussi
