SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Familles sommables

La définition de la somme d'une série repose sur le fait que l'ensemble des indices est N, et donc un ensemble canoniquement ordonné. Dans de nombreux problèmes, l'ordre des termes ne joue aucun rôle. Le besoin se fait aussi sentir de définir la somme d'une famille indexée par un ensemble I (non nécessairement dénombrable a priori), indépendamment du choix d'une relation d'ordre dans I.

Soit de nouveau G un groupe commutatif topologique séparé. On dit qu'une famille a = (u_i), i ∈ I, d'éléments de G est sommable s'il existe un élément s de G satisfaisant à la condition suivante : Pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J₀ de I telle que, pour toute partie finie J de I contenant J₀, on ait :

un tel élément s est unique. On l'appelle somme de la famille a et on le note :

Si 0 admet une base dénombrable de voisinages, le support de toute famille sommable est dénombrable (ce qui ne signifie pas que l'on doive se ramener systématiquement au cas où I = N).

Soit maintenant E un espace de Banach. Le critère de Cauchy devient : Pour qu'une famille (u_i), i ∈ I, d'éléments de E soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J₀ de I telle que, pour toute partie finie K de I ne rencontrant pas J₀, on ait :

La notion de famille sommable est commutative. De manière précise, pour toute famille sommable (u_i), i ∈ I, d'éléments de G et pour toute permutation σ de I, la famille (u_σ(i), i ∈ I, est sommable, et :

Examinons le cas où I = N. Soit (u_n) une suite d'éléments de G. On dit que la série de terme général (u_n) est commutativement convergente si, pour toute permutation σ de N, la série de terme général (u_σ(n)) est convergente. Si la suite (u_n) est sommable, la série de terme général (u_n) est commutativement convergente. Réciproquement, dans le cas des espaces de Banach, la convergence commutative implique la sommabilité ; de plus, pour toute permutation σ de N,

Soit (u_i), i ∈ I, une famille sommable d'éléments d'un espace de Banach E et (I_h), h ∈ H, une partition de I. Alors, pour tout élément h de H, la famille (u_i), i ∈I_h, est sommable, la famille (v_h), h ∈ H, où :

l'est encore, et :cette formule est dite formule de sommation par paquets. Soit E₁, E₂, et F trois espaces de Banach et S une application bilinéaire continue de E₁ × E₂ dans F ; soit (u_i), i ∈ I, une famille sommable d'éléments de E₁ et (v_j), j ∈ J, une famille sommable d'éléments de E₂. Alors, la famille (S(u_i, v_j)), (i, j) ∈ I × J, est sommable, et on a :en particulier, on peut définir le produit de deux familles sommables d'éléments d'une algèbre de Banach.

La définition des familles absolument sommables d'éléments d'un espace vectoriel normé est calquée sur le cas des séries. Toute famille absolument sommable est sommable. La réciproque est vraie lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie (mais elle ne l'est pas si l'on suppose seulement que E est complet). en particulier, toute série absolument convergente de nombres complexes est commutativement convergente.

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