SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
Familles sommables
La définition de la somme d'une série repose sur le fait que l'ensemble des indices est N, et donc un ensemble canoniquement ordonné. Dans de nombreux problèmes, l'ordre des termes ne joue aucun rôle. Le besoin se fait aussi sentir de définir la somme d'une famille indexée par un ensemble I (non nécessairement dénombrable a priori), indépendamment du choix d'une relation d'ordre dans I.
Soit de nouveau G un groupe commutatif topologique séparé. On dit qu'une famille a = (ui), i ∈ I, d'éléments de G est sommable s'il existe un élément s de G satisfaisant à la condition suivante : Pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie J de I contenant J0, on ait :

un tel élément s est unique. On l'appelle somme de la famille a et on le note :

Si 0 admet une base dénombrable de voisinages, le support de toute famille sommable est dénombrable (ce qui ne signifie pas que l'on doive se ramener systématiquement au cas où I = N).
Soit maintenant E un espace de Banach. Le critère de Cauchy devient : Pour qu'une famille (ui), i ∈ I, d'éléments de E soit sommable, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 0, il existe une partie finie J0 de I telle que, pour toute partie finie K de I ne rencontrant pas J0, on ait :

La notion de famille sommable est commutative. De manière précise, pour toute famille sommable (ui), i ∈ I, d'éléments de G et pour toute permutation σ de I, la famille (uσ(i), i ∈ I, est sommable, et :

Examinons le cas où I = N. Soit (un) une suite d'éléments de G. On dit que la série de terme général (un) est commutativement convergente si, pour toute permutation σ de N, la série de terme général (uσ(n)) est convergente. Si la suite (un) est sommable, la série de terme général (un) est commutativement convergente. Réciproquement, dans le cas des espaces de Banach, la convergence commutative implique la sommabilité ; de plus, pour toute permutation σ de N,

Soit (ui), i ∈ I, une famille sommable d'éléments d'un espace de Banach E et (Ih), h ∈ H, une partition de I. Alors, pour tout élément h de H, la famille (ui), i ∈Ih, est sommable, la famille (vh), h ∈ H, où :



La définition des familles absolument sommables d'éléments d'un espace vectoriel normé est calquée sur le cas des séries. Toute famille absolument sommable est sommable. La réciproque est vraie lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie (mais elle ne l'est pas si l'on suppose seulement que E est complet). en particulier, toute série absolument convergente de nombres complexes est commutativement convergente.
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 5 pages
Écrit par :
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
Classification
Autres références
« SÉRIES ET PRODUITS INFINIS » est également traité dans :
BOREL ÉMILE (1871-1956)
Dans le chapitre « Théorie des fonctions » : […] Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes , il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u n est le […] Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
Dans le chapitre « La théorie des fonctions de Lagrange » : […] Quant à Lagrange, estimant la méthode des limites entachée d'un recours à la métaphysique et suspectant la rigueur de la méthode des infiniment petits, il s'efforça, dès 1772, de fonder l'analyse sur des méthodes algébriques et en particulier sur l'emploi des développements en séries de Taylor. Ses conceptions furent ultérieurement développées dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797) et d […] Lire la suite
EULER LEONHARD (1707-1783)
Dans le chapitre « Mathématiques » : […] Euler est l'auteur de trois grands traités didactiques sur l'analyse infinitésimale, dans lesquels il a exposé sa conception nouvelle du calcul différentiel et intégral et ses rapports avec la géométrie : l' Introductio in analysin infinitorum (1748), les Institutiones calculi differentialis (1755) et les Institutiones calculi integralis (3 vol., 1768-1770). Le premier de ces traités opè […] Lire la suite
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
Dans le chapitre « La rigueur » : […] Non seulement Gauss nous apparaît tout proche de la pensée moderne par son sens profond des « structures » cachées sous les phénomènes mathématiques et de leur caractère général, mais c'est lui aussi qui le premier insiste avec vigueur sur la nécessité de démonstrations absolument rigoureuses, sans recours à de plus ou moins fallacieuses « intuitions » (exigence d'ailleurs tout à fait naturelle dè […] Lire la suite
INFINI, mathématiques
Dans le chapitre « Le passage à la limite » : […] Conséquence lourde de difficultés : l'exigence de donner un statut au concept de « passage à la limite » et au concept, solidaire, de « quantité évanouissante ». Lorsque Leibniz réfléchit au sens de l'écriture : pour n croissant indéfiniment, il se demande ce que signifie ici le signe de l'égalité. À rigoureusement parler, ce signe est privé de sens puisque la sommation : ne peut être achevée. Il […] Lire la suite
MACLAURIN COLIN (1698-1746)
Mathématicien écossais, né à Kilmodan, qui a développé et poursuivi l'œuvre de sir Isaac Newton en analyse, en géométrie et en mécanique. Enfant prodige, Colin Maclaurin entra à l'université de Glasgow à l'âge de onze ans. À dix-neuf ans, il fut élu professeur de mathématiques au collège de Marischal, à Aberdeen, et fut élu deux ans plus tard membre de la Royal Society of London. C'est à cette épo […] Lire la suite
MOIVRE ABRAHAM DE (1667-1754)
Mathématicien né en France et émigré en Angleterre suite à la révocation de l’édit de Nantes, Abraham de Moivre est connu pour ses travaux en analyse et en calcul des probabilités. Abraham de Moivre naît le 26 mai 1667 dans la petite ville de Vitry-le-François, en Champagne, où son père exerce comme chirurgien. Sa famille étant originaire de Moivre, village proche de Vitry, Abraham ajoutera une p […] Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES
Dans le chapitre « Limites » : […] Puisque le module des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la valeur absolue des nombres réels, on peut définir de manière analogue toutes les notions relatives aux limites ; remarquons d'ailleurs que les définitions qui suivent, appliquées au cas particulier des nombres réels, redonnent toutes les notions correspondantes pour ces nombres. On appelle suite de nombres complexes la don […] Lire la suite
NUMÉRIQUE ANALYSE
Dans le chapitre « Problématique » : […] On suppose donnée une forme linéaire continue L sur un espace vectoriel normé de fonctions E et un processus linéaire d'interpolation (L n ) de L. Pour tout élément f de E, la suite numérique a n = L n ( f ) converge ou non vers a = L( f ) ; il peut arriver que la suite ( a n ) diverge, ou encore qu'elle converge vers a , mais trop lentement pour être utilisable en analyse numérique. Voici de […] Lire la suite
NUMÉRIQUE CALCUL
Dans le chapitre « Valeurs approchées d'une fonction en un point » : […] Pour calculer les valeurs des fonctions transcendantes élémentaires, Newton puis Euler utilisent les développements en série entière de ces fonctions. On en trouve de nombreux exemples dans l' Introduction à l'analyse infinitésimale . La méthode suivie par Euler est de type expérimental : pour obtenir la somme d'une série numérique convergente avec vingt décimales, il calcule les termes successif […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Lucien CHAMBADAL, « SÉRIES ET PRODUITS INFINIS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/series-et-produits-infinis/