SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Articles

• SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL
  • 3 056 mots

  La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii^e siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur...

• BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par Maurice FRÉCHET
  • 2 290 mots
  Sommation des séries divergentes.L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers...

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

  • Écrit par René TATON
  • 11 465 mots
  • 3 médias
  Cet exemple nous conduit tout naturellement à signaler l'apport essentiel des années 1660, l'introduction systématique des séries infinies. Certes, l'intérêt porté aux algorithmes infinis apparaît dès l'Antiquité et se retrouve dans certaines spéculations scolastiques. Dès 1593, Viète avait développé...

• EULER LEONHARD (1707-1783)

  • Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
  • 2 759 mots
  • 1 média
  Euler était exceptionnellement doué pour le calcul, aussi bien numérique que formel. Dans l'Introductio, il manipule les séries et les produits infinis d'une façon prodigieuse et il trouve des résultats très remarquables, comme le développement de sin z en produit infini :

  

  qui lui donne...

• GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ
  • 4 886 mots
  ...avaient totalement négligé d'asseoir sur des bases solides leurs raisonnements de calcul infinitésimal et notamment n'hésitaient pas à calculer sur des séries divergentes, ils obtenaient d'ailleurs souvent ainsi des résultats exacts (pour des raisons qui nous sont maintenant claires mais ne pouvaient absolument...

• INFINI, mathématiques

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 372 mots
  ...l'ensemble des nombres réels, d'une définition purement analytique de la convergence. Il n'en allait pas de même aux origines du « calcul » où le concept de série infinie restait encore, à la fois, très opératoire et très intuitif. Aussi Leibniz interprète-t-il le signe de l'égalité en déclarant (...

• MACLAURIN COLIN (1698-1746)

  • Écrit par Universalis
  • 518 mots

  Mathématicien écossais, né à Kilmodan, qui a développé et poursuivi l'œuvre de sir Isaac Newton en analyse, en géométrie et en mécanique. Enfant prodige, Colin Maclaurin entra à l'université de Glasgow à l'âge de onze ans. À dix-neuf ans, il fut élu professeur de mathématiques...

• MOIVRE ABRAHAM DE (1667-1754)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 793 mots

  Mathématicien né en France et émigré en Angleterre suite à la révocation de l’édit de Nantes, Abraham de Moivre est connu pour ses travaux en analyse et en calcul des probabilités.

  Abraham de Moivre naît le 26 mai 1667 dans la petite ville de Vitry-le-François, en Champagne, où son père...

• NOMBRES COMPLEXES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 3 421 mots
  • 2 médias
  Les séries de nombres complexes jouent un rôle absolument essentiel car elles interviennent dans la définition des fonctions analytiques d'une ou de plusieurs variables complexes, qui est une branche fondamentale de l'analyse. Soit (z_n) une suite de nombres complexes et soit (s_n) la suite...

• NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
  • 6 378 mots
  Sommes de séries. Ici E est l'espace vectoriel l¹(C) des suites sommables muni de la norme N₁. L'application qui à u = (u_p) associe

  

  est une forme linéaire continue qu'on approche par les sommes partielles S_n(u) = s_n ; ici le processus d'approximation est stable, puisque ∥S...

• NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT
  • 5 567 mots
  Pour calculer les valeurs des fonctions transcendantes élémentaires, Newton puis Euler utilisent les développementsen série entière de ces fonctions. On en trouve de nombreux exemples dans l'Introduction à l'analyse infinitésimale. La méthode suivie par Euler est de type expérimental...

• RÉELS NOMBRES

  • Écrit par Jean DHOMBRES
  • 14 916 mots
  ...rigueur y perd son compte. Un tel nouveau calcul devient systématique au xvii^e siècle, avant même la construction du calcul infinitésimal (cf. calcul infinitésimal - Histoire, calcul numérique) ; il s'agit du calcul des séries, que bien des aspects rattachent à la méthode d'exhaustion.

• STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

  • Écrit par Jeanne PEIFFER
  • 494 mots

  Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois...

• WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 2 229 mots
  Sur ce théorème reposent à peu près tous les procédés usuels de construction de fonctions holomorphes à l'aide de séries, de produits infinis, d'intégrales. Weierstrass lui-même s'en servit d'abord (1842) pour établir la dépendance analytique, vis-à-vis de la donnée initiale, de la solution d'un...