SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Produits infinis

Soit G un groupe commutatif topologique séparé. Lorsque la loi de G est notée multiplicativement, les séries et les familles sommables d'éléments de G prennent respectivement les noms de produits infinis et de familles multipliables.

Cependant, lorsque le groupe G est le groupe multiplicatif d'un corps commutatif topologique séparé K, une suite d'éléments de G ne converge au sens de G que si elle converge vers un élément non nul de K. Cette remarque conduit à modifier légèrement les définitions.

On appelle produit infini d'éléments de K un couple A = ((u_n), (p_n)) constitué de deux suites d'éléments de K telles que, pour tout entier naturel n, on ait :

l'élément p_n s'appelle produit à l'ordre n de A, et la suite (u_n) s'appelle terme général de A.

On dit que le produit infini A est convergent dans K si u_n est non nul à partir d'un certain rang n₀ et si le produit infini de terme général (u_n), n ≥ n₀, est convergent dans G = K*. Il est immédiat que le terme général d'un produit infini convergeant dans K converge vers 1.

On dit de même qu'une famille (u_i), i ∈ I, d'éléments de K est multipliable dans K si le support I₀ de cette famille, c'est-à-dire l'ensemble des indices i tels que u_i≠ 0, est le complémentaire d'une partie finie de I et si la famille (u_i), i ∈ I₀, est multipliable dans K*.

Les produits infinis ayant leurs principales applications dans la théorie des fonctions analytiques, nous nous plaçons désormais dans le cas du corps des nombres complexes.

Le critère de Cauchy devient ici : Pour que le produit infini A converge, il faut et il suffit que, pour tout voisinage V de 1, il existe un entier naturel n₀ tel que, pour tout couple (q, r) d'entiers naturels tel que r > q ≥ n₀, on ait :

L'étude des produits infinis de nombres complexes se ramène à celle des séries : Soit (u_n) une suite de nombres complexes non réels négatifs ; pour que le produit infini de terme général (u_n) soit convergent (resp. commutativement convergent), il faut et il suffit que la série de terme général (ln u_n) soit convergente (resp. commutativement convergente). Soit (v_n) une suite de nombres complexes ; pour que le produit infini de terme général (1 + v_n) soit commutativement convergent, il faut et il suffit que la série de terme général (v_n) soit absolument convergente.Comme le terme général d'un produit infini convergent (u_n) tend vers 1, on pose u_n = 1 + v_n, où v_n → 0. Lorsque (u_n) est une suite de nombres réels positifs, la convergence du produit infini de terme général u_n équivaut à celle de la série de terme général v_n, par passage au logarithme, car ln(1 + x) ∼ x au voisinage de 0.

On est alors amené à définir la convergence absolue d'un produit infini de terme général u_n par la convergence absolue de la série de terme général v_n. Tout produit absolument convergent est convergent.