SÉRIES ENTIÈRES

Articles

• ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 6 250 mots
  • 1 média
  ...nécessairement vers 0. Mais, lorsque ce reste tend vers 0, la formule sommatoire fournit des développements en série. Ainsi, appliquant cette formule à la fonction t ↦ e^zt, on montre que, pour |z | < 2π,

  

  On en déduit les développements enséries entières des fonctions trigonométriques :

  

• BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par Maurice FRÉCHET
  • 2 290 mots
  Séries de Taylor.Borel étudia l'influence de la nature arithmétique des coefficients d'une série entière sur la nature de sa somme ; ainsi, il établit qu'une fonction méromorphe n'a une série de Taylor à coefficients entiers que si c'est une fraction rationnelle. Dans une direction tout à fait différente,...

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  La somme d'une série entière de rayon de convergence R est une fonction indéfiniment différentiable dans son disque de convergence, et les dérivées successives à l'origine sont données par la formule de Taylor.

• FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 12 743 mots
  • 9 médias
  La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :

  

  où a et les a_n sont des nombres complexes donnés ; on dit qu'une telle série (1) est une série entière de centre a et de coefficients a_n.

• HADAMARD JACQUES (1865-1963)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 380 mots
  ...premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière :

  

  à partir des propriétés de la suite (a_n) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se...

• LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par Jean LOUVEAUX
  • 849 mots

  Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne...

• SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

  • Écrit par Lucien CHAMBADAL
  • 3 056 mots

  La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xvii^e siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur...