HADAMARD JACQUES (1865-1963)

Le mathématicien Jacques Hadamard (né à Versailles, mort à Paris) a eu une grande influence sur l'école française de mathématiques au début du siècle. S'il reste l'héritier de la grande tradition des analystes du xix^e siècle dans ses travaux sur les fonctions analytiques, dont il tire de belles conséquences arithmétiques, il apparaît aussi comme un précurseur dans la théorie des équations aux dérivées partielles, dont il est un des fondateurs sous sa forme moderne.

Fonctions analytiques

Les premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière :

à partir des propriétés de la suite (a_n) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle essentielle dans toutes ces questions, il donne, dans un premier mémoire de 1888, l'expression :

du rayon de convergence R dans le cas général. En fait, cette expression figurait déjà dans le Cours d'analyse (chap. vi) de Cauchy en 1821, mais celui-ci ne disposait pas du formalisme nécessaire pour une définition explicite de la limite supérieure. Dans sa thèse de 1892, il obtient un critère pour qu'un point du cercle de convergence soit singulier et en tire aussitôt le théorème qui affirme que la série « lacunaire » :

où la suite des entiers λ_n est telle que λ_n+1/λ_n≥ λ > 1, admet son cercle de convergence comme coupure, c'est-à-dire que tous les points de ce cercle sont singuliers. Introduisant les déterminants symétriques :

appelés traditionnellement déterminants d'Hadamard, il tire de l'étude des quantités :

l'expression du rayon de méromorphie de la série, c'est-à-dire le rayon du plus grand disque de centre O dans lequel il existe un prolongement méromorphe. Plus généralement, Hadamard définit, en liaison avec la croissance de la fonction, l'ordre d'un point singulier, puis l'ordre du cercle de convergence. Enfin, toujours à propos de la question des singularités, il faut mentionner le résultat de 1898 sur la « composition des singularités » : toute singularité de la série Σa_nb_nzⁿ est de la forme αβ, où α et β sont des singularités de Σa_nzⁿ et de Σb_nzⁿrespectivement.

L'étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème, conjecturé par Legendre, sur la distribution des nombres premiers : désignant par π (x) la quantité de nombres premiers inférieurs à x, on a :

ce résultat a été démontré à peu près simultanément par C. de La Vallée-Poussin selon une méthode un peu plus compliquée. La démonstration d'Hadamard à partir de la fonction zêta permet d'obtenir la distribution des nombres premiers dans une progression arithmétique quelconque.

Enfin le « théorème des trois cercles » affirme que si M(r) désigne le maximum du module d'une fonction analytique dans le disque |z| ≤ r, la fonction ln M(r) est convexe.

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Autres références

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Les limitations du théorème de Cauchy-Kovalevskaïa ont été mises en lumière de façon particulièrement claire par Hadamard dans ses Leçons sur le problème de Cauchy (publiées à Yale en 1923 et à Paris en 1932). Elles portent sur trois points liés entre eux qui rendent le résultat inopérant...
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Le théorème des nombres premiers établit (46) ; démontré d'abord en 1896 par J. Hadamard et C. de La Vallée-Poussin indépendamment, il a été par la suite amélioré par divers mathématiciens et l'on peut maintenant montrer que :
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En 1896, J. Hadamard montra que, si ρ est fini, g est un polynôme de degré ≤ ρ ; c'est donc une constante si ρ < 1 et, dans ce cas, la factorisation de f se réduit à :
où A est une constante.