ZÊTA FONCTION

Fonctions zêta et fonctions L sur une variété algébrique définie sur un corps fini

Depuis les travaux de E.  Artin, on sait que tous les résultats de la théorie des nombres algébriques se transportent (avec des expressions plus simples, dues à l'absence des « places infinies ») aux « corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps fini F_q », c'est-à-dire les extensions algébriques finies du corps des fractions rationnelles F_q(X). E. Artin lui-même avait noté, sur le cas particulier des extensions quadratiques de F_q(X), que la définition de Dedekind de la fonction zêta se généralise à un tel corps k en prenant pour p toutes les places de k et pour Np le nombre d'éléments du corps résiduel de la place p. La théorie de Tate s'étend également sans difficulté.

Mais on peut considérer k comme le corps des fonctions rationnelles sur une courbe algébrique irréductible définie sur F_q ; ce point de vue amène à une nouvelle généralisation, en remplaçant la courbe par une variété algébrique X de dimension quelconque définie sur F_q. Pour simplifier, on supposera qu'il s'agit d'une variété affine, ensemble des points x = (x₁, ..., x_m) d'un espace F_q^m, où F_q est la clôture algébrique de F_q, vérifiant un nombre fini d'équations Pα(x₁, ..., x_m) = 0, où les Pα sont des polynômes à coefficients dans F_q. Soit a l'idéal de l'anneau de polynômes F_q[T₁, ..., T_m]engendré par les Pα. Tout point x ∈ X définit un homomorphisme F_q[T₁, ..., T_m] → F_q transformant T_j en x_j pour 1 ≤ j ≤ m et s'annulant dans a ; réciproquement, un tel homomorphisme correspond à un point x ∈ X et à un seul. L'image de cet homomorphisme est un corps fini, extension de F_q, ayant donc q^h éléments ; on pose h = deg(x). On montre alors que le produit infini :

est, pour |t|< q^-dim(x), absolument convergent et l'on définit la fonction zêta de X par :

On voit facilement que, pour tout entier n ≥ 0, il n'y a qu'un nombre fini ν_n de points de X tels que deg(x) = n, et on déduit de (13) l'égalité :

Le nombre ν_n s'interprète à l'aide de l'automorphisme de Frobenius F de X, qui à tout point (x₁, ..., x_m) de X fait correspondre le point (x₁^q, ..., x^q_m) ; ν_n est simplement le nombre des points de X fixes par Fⁿ. Cette interprétation, d'abord introduite par A.  Weil, est à la base de tous les résultats récents obtenus sur les fonctions zêta des variétés X.

On définit de la même manière la fonction Z(X, t ) lorsque X est une variété projective sur F_q ou une variété « abstraite » au sens de A. Weil ou de J.-P. Serre. Lorsque X est une courbe projective sans singularité de genre g, F. K. Schmidt a montré en 1929 que l'on peut écrire :

où P_2g est un polynôme de degré 2g, et on a l'équation fonctionnelle :en outre, H. Hasse pour g = 1 et A. Weil pour le cas général montrèrent que les zéros de P_2g sont tels que |t| = q^1/2, ce qui correspond dans ce cas à l'« hypothèse de Riemann ». Pour X (projective ou non) de dimension quelconque, B. Dwork montra en 1960 que Z(X, t ) est encore une fonction rationnelle de t. Par exemple, si X = F_q^m, on a ζ(X, s) = (1 − q^m-s)^-1. Grâce à l'introduction d'une notion de «   cohomologie » pour les variétés sur un corps quelconque, A.  Grothendieck et M. Artin ont montré que, si X est une variété projective irréductible sans singularité de dimension n sur F_q, la fonction zêta vérifie l'équation fonctionnelle généralisant (17) :où k est la « caractéristique d'Euler-Poincaré » de X pour cette cohomologie. Mais on n'a pas encore obtenu de démonstration de l'« hypothèse de Riemann » correspondante qui serait que les zéros de Z(X, t ) soient tous sur[...]