HILBERT ESPACE DE

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Théorie élémentaire

L'étude des espaces hermitiens de dimension finie repose sur le théorème qui suit.

Théorème 3. Tout espace hermitien de dimension finie admet au moins une base orthonormale.

La démonstration s'effectue par récurrence sur la dimension de l'espace hermitien E. Soit donc E un espace hermitien de dimension strictement positive n. Choisissons un vecteur unitaire e1. L'ensemble H des vecteurs orthogonaux à e1 est un hyperplan de E, car c'est le noyau de la forme linéaire non nulle ↦ (x|e1). De plus, e1 n'appartient pas à H, si bien que E est somme directe orthogonale de la droite Ce1 et de H. Il suffit alors d'appliquer l'hypothèse de récurrence à H, qui est de dimension n − 1, pour obtenir une base orthonormale de E.

Théorème 4. Soit E un espace hermitien et F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie.

– Pour tout vecteur x de E, il existe un couple (yz) et un seul de vecteur de E tel que ∈ F, ∈ F et x = + z. Autrement dit, le sous-espace vectoriel F est supplémentaire orthogonal de F dans E. Par suite, (F) = F. Enfin, pour tout vecteur u de F différent de z, ∥x − u∥ > ∥x − z∥.

– Si F est muni d'une base orthonormale (e1, e2, ..., ep), alors :

Munissons F d'une base orthonormale (e1, e2, ..., ep). Le vecteur z, s'il existe, peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme z = α1e1 + ... + αpep ; or,

par suite, les vecteurs y et z sont nécessairement définis par les formules :
ce qui prouve l'unicité du couple (yz). Réciproquement, les vecteurs ainsi définis conviennent visiblement.

Soit maintenant u un vecteur de F. Le vecteur x − z est orthogonal à F, et le vecteur z − u appartient à F. Donc :

ce qui achève la démonstration.

Corollaire 1. Toute famille orthonormale d'éléments d'un espace hermitien E de dimension finie peut être complétée en une base orthonormale de E.

Soit en effet F le sous-espace vectoriel engendré par une famille orthonormale L. D'après le théorème, F est supplémentaire orthogonal de F dans E. Il existe une base orthonormale L′ de F. La base de E obtenue en réunissant L et L′ convient.

Corollaire 2. Soit (e1, e

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  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « HILBERT ESPACE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-de-hilbert/