INTÉGRALES ÉQUATIONS
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Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l'analyse fonctionnelle. Quelques années plus tard, l'étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à définir l'espace qui porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F. Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales ont joué un rôle historique important dans l'élaboration des principaux concepts de l'analyse contemporaine.
Exemples
La forme usuelle d'une équation intégrale est :
Problème de Sturm-Liouville
Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'équation différentielle linéaire homogène :
(où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact [a, b] de R et r une fonction continue strictement positive sur cet intervalle) a des solutions non nulles vérifiant n conditions aux limites données.
Si 0 n'est pas l'une de ces valeurs de λ, on définit une fonction de Green G du problème, continue sur [a, b]2 ; si l'on connaît G, la formule intégrale :
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Écrit par :
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
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FREDHOLM IVAR (1866-1927)
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HAAR ALFRÉD (1885-1933)
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Dans le chapitre « Analyse mathématique » : […] À la fin du xix e siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (cf. analyse mathématique , chap. 6), en liaison avec le développement de la fonction oscillatoire en série de fonctions des oscillations propres (c […] Lire la suite
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PICARD ÉMILE (1856-1941)
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Dans le chapitre « Aperçu historique » : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l , fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d' […] Lire la suite
VOLTERRA VITO (1860-1940)
Mathématicien italien, né à Ancône et mort à Rome, dont les travaux portent sur l'analyse mathématique et ses applications à la mécanique, la physique et la biologie. Vito Volterra fit ses études à Florence, puis à Pise et enseigna successivement à Pise, Turin et, enfin, Rome, où il succéda à E. Beltrami, en 1900. Volterra est le créateur de l'analyse fonctionnelle : sous le nom de fonctions de l […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Michel HERVÉ, « INTÉGRALES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/