INTÉGRALES ÉQUATIONS

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xix^e siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l'analyse fonctionnelle. Quelques années plus tard, l'étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à définir l'espace qui porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F. Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales ont joué un rôle historique important dans l'élaboration des principaux concepts de l'analyse contemporaine.

Exemples

La forme usuelle d'une équation intégrale est :

où A est une partie de R^m décrite par chacune des variables x et ξ, K une fonction donnée sur A² appelée noyau de l'équation, f une fonction donnée sur A, qui est la constante 0 dans l'équation homogène :enfin la fonction y est l'inconnue de l'équation et λ un paramètre ; toutes ces quantités sont de préférence complexes.

Problème de Sturm-Liouville

Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'équation différentielle linéaire homogène :

(où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact [a, b] de R et r une fonction continue strictement positive sur cet intervalle) a des solutions non nulles vérifiant n conditions aux limites données.

Si 0 n'est pas l'une de ces valeurs de λ, on définit une fonction de Green G du problème, continue sur [a, b]² ; si l'on connaît G, la formule intégrale :

donne la solution de l'équation non homogène :vérifiant les conditions aux limites données, de sorte que le problème de Sturm-Liouville est transformé en l'équation intégrale homogène :

Problème de D [...]

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