INTÉGRALES ÉQUATIONS
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Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l'analyse fonctionnelle. Quelques années plus tard, l'étude des équations intégrales conduisait D. Hilbert à définir l'espace qui porte son nom et à poser les premières bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F. Riesz développa la théorie des opérateurs compacts (1918). Ainsi, les équations intégrales ont joué un rôle historique important dans l'élaboration des principaux concepts de l'analyse contemporaine.
Exemples
La forme usuelle d'une équation intégrale est :
Problème de Sturm-Liouville
Le problème de Sturm-Liouville (cf. équations différentielles, chap. 3) concerne les valeurs du paramètre réel λ pour lesquelles l'équation différentielle linéaire homogène :
(où L est un opérateur différentiel d'ordre n à coefficients continus sur un intervalle compact [a, b] de R et r une fonction continue strictement positive sur cet intervalle) a des solutions non nulles vérifiant n conditions aux limites données.
Si 0 n'est pas l'une de ces valeurs de λ, on définit une fonction de Green G du problème, continue sur [a, b]2 ; si l'on connaît G, la formule intégrale :
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Écrit par :
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
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Autres références
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ASYMPTOTIQUES CALCULS
Dans le chapitre « Cas des fonctions définies par des intégrales » : […] Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calculs-asymptotiques/#i_30364
CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)
Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières à noyau réel et symétrique (1923) et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/torsten-carleman/#i_30364
FREDHOLM IVAR (1866-1927)
Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique rationnelle et de physique mathématique à la même un […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_30364
HAAR ALFRÉD (1885-1933)
Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent pour Budapest, puis furent tous les deux nommés profe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alfred-haar/#i_30364
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Analyse mathématique » : […] À la fin du xix e siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_30364
ORTHOGONAUX POLYNÔMES
Dans le chapitre « Équation intégrale de Fredholm » : […] Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k ( x , y ) f ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes-orthogonaux/#i_30364
PICARD ÉMILE (1856-1941)
Dans le chapitre « La méthode de Picard » : […] On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_30364
RADON JOHANN (1887-1956)
Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier. Né à Tetschen (Bohême), Johann Radon fit ses études à l'université de Vienne (1905-1910), puis fut nommé assistant à l'École polytechnique de Brno. Il passa la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/johann-radon/#i_30364
RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)
Dans le chapitre « Espaces fonctionnels » : […] David Hilbert (cf. espace de hilbert ) avait montré que l'espace l 2 des suites numériques c = ( c 1 , c 2 , ...) de carré sommable, muni de la norme : et de la distance : est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/frederic-riesz/#i_30364
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Dans le chapitre « Aperçu historique » : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/series-trigonometriques/#i_30364
VOLTERRA VITO (1860-1940)
Mathématicien italien, né à Ancône et mort à Rome, dont les travaux portent sur l'analyse mathématique et ses applications à la mécanique, la physique et la biologie. Vito Volterra fit ses études à Florence, puis à Pise et enseigna successivement à Pise, Turin et, enfin, Rome, où il succéda à E. Beltrami, en 1900. Volterra est le créateur de l'analyse fonctionnelle : sous le nom de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/vito-volterra/#i_30364
Voir aussi
Pour citer l’article
Michel HERVÉ, « INTÉGRALES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/