ERGODIQUE THÉORIE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L. Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté liée à l'étude des systèmes mécaniques à un très grand nombre de particules. L'importance de cette hypothèse, confirmée expérimentalement dans de nombreux cas, conduisit les mécaniciens à en chercher une justification théorique et ce sont les diverses tentatives faites dans cette voie qui marquent les débuts de la théorie ergodique.

Après les résultats fondamentaux, obtenus par J. von Neumann et G. D. Birkhoff en 1931 à quelques semaines d'intervalle, la théorie ergodique s'est développée au sein de la mathématique dans des directions diverses : analyse fonctionnelle et théorie des groupes ; calcul des probabilités et plus précisément processus markoviens ; théorie de l'information, etc. Les méthodes ergodiques ont permis d'exposer différemment certains problèmes et de donner des prolongements nouveaux à ces branches de la mathématique. L'étude de la théorie ergodique suppose la connaissance de la théorie de la mesure.

Le modèle de Poincaré et l'hypothèse ergodique

Pour expliquer l'hypothèse ergodique, il est commode d'avoir recours à un modèle très simple imaginé par H. Poincaré. Supposons un liquide en mouvement stationnaire dans un récipient Ω de forme invariable et complètement rempli. Si une molécule du liquide occupe la position ω0 à l'instant 0 et ωt à l'instant t, on peut décrire le passage de l'instant 0 à l'instant t et, plus généralement, de l'instant s à l'instant s + t, au moyen d'une transformation ponctuelle θt opérant dans Ω, pour laquelle :

et :
et cela pour toutes les molécules de liquide. Il va de soi que ces transfo [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages


Écrit par :

Classification


Autres références

«  ERGODIQUE THÉORIE  » est également traité dans :

BIRKHOFF GEORGE DAVID (1884-1944)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 336 mots

Après des études à Chicago, Birkhoff enseigna à l'université du Wisconsin (1907-1909), à celle de Princeton (1909-1912) et enfin à l'université Harvard, de 1912 jusqu'à sa mort. Il fut un brillant enseignant et directeur de recherches : vers le milieu du siècle, une bonne partie des plus grands mathématiciens américains soit avaient soutenu leur doctorat sous sa direction, soit poursuivaient leurs […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-david-birkhoff/#i_29549

MÉDAILLES FIELDS 2010

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 650 mots

Décernées tous les quatre ans à, au plus, quatre mathématiciens âgés de moins de quarante ans, les médailles Fields signalent, en couronnant leurs auteurs, la plupart des avancées majeures en mathématiques pures. Les lauréats de 2010 marquent, par la diversité de leurs contributions, l'abondante production de résultats majeurs de ces dernières années. Ngô Bao Châu, par sa démonstration en 2008 du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2010/#i_29549

RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par 
  • Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  •  • 1 514 mots

Dans le chapitre « L'intégrale de Lebesgue »  : […] L'introduction de l 'intégrale de Lebesgue fut une grande innovation de l'analyse au début du xx e  siècle et a été d'abord accueillie avec une certaine réserve de la part de beaucoup de mathématiciens. Riesz en a immédiatement reconnu l'importance, et le théorème de Riesz-Fischer fut l'une des premières preuves de l'utilité des nouvelles notions. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/frederic-riesz/#i_29549

SINAÏ YAKOV (1935- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 710 mots
  •  • 1 média

Mathématicien russe, lauréat du prix Abel 2014 pour ses « contributions fondamentales à l’étude des systèmes dynamiques, à la théorie ergodique et à la physique mathématique » . Né le 21 septembre 1935 à Moscou, Yakov Grigorevich Sinaï est le fils de deux chercheurs en microbiologie et le petit-fils du mathématicien Vienamin Kagan, qui fut directeur du département de géométrie différentielle à l’u […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/yakov-sinai/#i_29549

STATISTIQUE MÉCANIQUE

  • Écrit par 
  • Berni J. ALDER, 
  • Bernard JANCOVICI
  •  • 5 921 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Moyennes temporelles, problème ergodique, ensemble microcanonique »  : […] On part de la mécanique microscopique à laquelle obéissent les particules constitutives du système qu'on veut étudier. En principe, c'est la mécanique quantique, et elle engendrera une mécanique statistique quantique . En fait, la mécanique classique est souvent une approximation suffisante (par exemple, pour décrire les mouvements de translation, dans la plupart des cas, des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-statistique/#i_29549

STATISTIQUE THERMODYNAMIQUE

  • Écrit par 
  • Alkiviadis GRECOS
  •  • 4 211 mots

Dans le chapitre « Problèmes ergodiques en mécanique statistique »  : […] Notons d'abord que les développements récents de la mécanique analytique ont permis d'approfondir les idées sur la nature du mouvement des systèmes conservatifs. D'après les lois de la dynamique, le mouvement d'un système classique est représenté par une trajectoire dans l'espace des phases. Mais la notion de trajectoire implique la possibilité d'une détermination d'un état instantané du système, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/thermodynamique-statistique/#i_29549

STOCHASTIQUES PROCESSUS ou PROCESSUS ALÉATOIRES

  • Écrit par 
  • Maurice GIRAULT
  •  • 4 900 mots

Dans le chapitre « Cas fini »  : […] Considérons le cas où E  = {1, 2, ..., k } et T = { t 1 , t 2 , ..., t n , ...}. Il suffit de donner la loi initiale des états, c'est-à-dire le vecteur colonne P 0 de composantes p 0 h  =  […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stochastiques-processus-aleatoires/#i_29549

Voir aussi

Pour citer l’article

Antoine BRUNEL, « ERGODIQUE THÉORIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-ergodique/