RIEMANN BERNHARD (1826-1866)
Fonctions harmoniques et principe de Dirichlet
La thèse de Riemann innovait aussi par le rôle capital joué par les fonctions harmoniques à partir du chapitre vii, où se trouve la célèbre formule de Riemann : Si la fonction u à valeurs dans R2 est continûment différentiable sur un compact A, de bord régulier B, on a :
En quelques pages (chap. x et xi) sont réunis un théorème de prolongement, le principe du maximum et le principe du prolongement analytique, comme on dit aujourd'hui. L'objectif est la détermination (chap. xix) d'une fonction holomorphe sur un ouvert D simplement connexe, continue sur D−, par les valeurs de sa partie réelle sur la frontière de D et de sa partie imaginaire en un point de D.
Pour atteindre ce but, Riemann énonce (chap. xvi et xviii) le principe de Dirichlet : Parmi les fonctions continues sur D−, ou discontinues en des points isolés, qui prennent des valeurs données sur la frontière de D et dont le gradient est de carré intégrable sur D, il y en a une et une seule rendant minimale l'intégrale du carré du gradient, et cette fonction est harmonique sur D, donc résout le problème de Dirichlet au sens strict.
La démonstration complète se révéla impossible, car cet énoncé est faux. Si D est un disque, pour toute donnée f continue sur la circonférence, le problème de Dirichlet au sens strict a bien une solution unique, mais fournie par la formule intégrale de Poisson et non par la méthode proposée par Riemann, car il peut arriver qu'aucun prolongement de f à D− n'ait un gradient de carré intégrable : Hadamard (Bulletin de la Société mathématique de France, 1906) en donna l'exemple :
Si D est quelconque, le problème de Dirichlet au sens strict n'a pas en général de solution, à cause des points irréguliers de la frontière de D.
Le principe de Dirichlet fut à l'origine des travaux de Hilbert, qui lui donna sa forme correcte ; quant à l'intégrale du carré du gradient, appelée maintenant intégrale de Dirichlet, elle intervient fréquemment en théorie du potentiel et dans l'étude des équations aux dérivées partielles.
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Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
Classification
Pour citer cet article
Michel HERVÉ. RIEMANN BERNHARD (1826-1866) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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DISSERTATIONS (B. Riemann)
- Écrit par Bernard PIRE
- 215 mots
- 1 média
La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit « genre » de la... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 6 250 mots
- 1 média
Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du... -
CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 836 mots
Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
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DÉMONSTRATION (notions de base)
- Écrit par Philippe GRANAROLO
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...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une... - Afficher les 19 références
Voir aussi
- ABÉLIENNES FONCTIONS
- SCIENCES HISTOIRE DES, XIXe s.
- NOMBRES THÉORIE ANALYTIQUE DES
- NOMBRES PREMIERS THEORÈME DES
- DIRICHLET PROBLÈME DE
- GENRE D'UNE COURBE OU D'UNE SURFACE
- THÊTA FONCTION
- RIEMANN INTÉGRALE DE
- REPRÉSENTATION CONFORME
- RIEMANN SURFACE DE
- HARMONIQUES FONCTIONS
- RIEMANN HYPOTHÈSE DE
- MATHÉMATIQUES HISTOIRE DES
- RIEMANN SÉRIES DE
