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RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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Fonction ζ et répartition des nombres premiers

La partie, célèbre entre toutes, de l'œuvre de Riemann concernant la fonction ζ tient en une dizaine de pages, adressées en 1859 à l'Académie de Berlin, qui venait de l'élire membre correspondant.

La fonction ζ (cf. fonctionzêta) est définie d'abord, pour Re s > 1, comme somme de la série de Riemann :

Euler avait montré que 1/ζ(s) est produit des facteurs 1 − p−s, p premier ≥ 2, d'où ζ(s) ≠ 0 pour Re s > 1 ; il avait d'autre part défini la fonction Γ par :

pour Re s > 0, et obtenu la formule des compléments :
d'où découle un prolongement méromorphe de Γ à tout le plan, avec comme pôles (simples) les entiers ≤ 0.

Notons ln la détermination principale du logarithme complexe (holomorphe sur le complémentaire du demi-axe réel négatif, et de partie imaginaire comprise entre ± π), et L le chemin suivant décrit par le point z = x + iy = reiθ : d'abord x décroît de + ∞ à 0, y restant égal à 1 ; puis θ croît de π/2 à 3 π/2, r restant égal à 1 ; enfin x croît de 0 à + ∞, y restant égal à − 1. Avec ces notations, Riemann obtient la formule :

où l'intégrale est une fonction entière de s, d'où un prolongement méromorphe de ζ à tout le plan, avec le seul pôle (simple) s = 1 ; puis il montre que :
est une fonction entière et une fonction paire de s − 1/2 ; la fonction ζ(s) ne pouvant s'annuler que pour Re s ≤ 1, la fonction ξ(s) ne peut s'annuler que pour 0 ≤ Re s ≤ 1.

Puisqu'on a la formule :

on conçoit qu'une analyse subtile puisse lier, d'une part, la croissance avec x réel du nombre π(x) des nombres premiers inférieurs à x, ou de la somme θ(x) des logarithmes de ces nombres premiers et, d'autre part, le comportement, quand T → ∞, de :
avec b > 1. Pour appliquer à cette intégrale la méthode des résidus, on complète le chemin d'intégration en le périmètre d'un rectangle de sommets a ± iT, b ± iT, avec 1/2 < a < 1, et cela de manière que ζ ne s'annule ni sur l'aire ni sur le périmètre du rectangle.

C'est pourquoi Riemann formule en ces termes sa célèbre hypothèse : « Il est très probable que tous les zéros de ξ ont une partie réelle égale à 1/2, mais j'ai laissé cette recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux. » Plus d'un siècle après, cette hypothèse n'a pu être ni confirmée ni infirmée. Par contre, Hadamard et La Vallée-Poussin réussirent l'un et l'autre, en 1896, par des méthodes parallèles mais distinctes, à poursuivre l'analyse sans recourir à l'hypothèse de Riemann : La Vallée-Poussin y parvint en prenant a = 1 − c/ln T pour T assez grand, la constante c étant convenablement choisie. La conclusion fut le théorème fondamental :

quand x → + ∞, conjecturé par Legendre dès 1798 et ainsi démontré près d'un siècle plus tard.

Après ce succès, les spécialistes portèrent leur effort sur la recherche d'une démonstration élémentaire, c'est-à-dire évitant les fonctions d'une variable complexe : il fallut encore attendre 1948 pour que ce but fût atteint simultanément par Selberg et Erdös.

— Michel HERVÉ

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Pour citer cet article

Michel HERVÉ. RIEMANN BERNHARD (1826-1866) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • DISSERTATIONS (B. Riemann)

    • Écrit par
    • 215 mots
    • 1 média

    La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de la...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du...

  • CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

    • Écrit par
    • 836 mots

    Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...

  • DÉMONSTRATION (notions de base)

    • Écrit par
    • 3 085 mots
    ...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une...
  • Afficher les 19 références
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