RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

Après la mort de Georg Friedrich Bernhard Riemann, son œuvre fut publiée en un seul volume, y compris les fragments posthumes, et cette brièveté ne tient pas seulement à la fin précoce du mathématicien : d'une part, ses démonstrations sont très intuitives, souvent incomplètes, sinon absentes ; d'autre part, il publiait, à de longs intervalles, des mémoires patiemment mûris. La nouveauté des notions et des méthodes qu'on y trouvait et l'intuition géniale qui les animait donnèrent aux mathématiques un élan encore perceptible aujourd'hui.

Riemann, comme la plupart des mathématiciens de son époque, s'intéressait aussi, et de façon suivie, à la physique, et publia des mémoires sur de nombreux sujets : lois de répartition de l'électricité statique, contribution à l'électrodynamique, propagation d'ondes atmosphériques planes, mécanique de l'oreille, etc.

Né dans un village du royaume de Hanovre, Riemann fit ses études supérieures et sa courte carrière universitaire à Göttingen. Il passa en Italie la plus grande partie de ses quatre dernières années : à l'époque, c'était le seul soulagement à la maladie pulmonaire qui le minait ; c'est ainsi qu'il repose dans un petit cimetière proche du lac Majeur.

Surfaces de Riemann

La thèse de Riemann (dissertation inaugurale), soutenue à Göttingen en décembre 1851 et intitulée Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d'une variable complexe, contient à elle seule plusieurs des découvertes auxquelles son nom est resté attaché. Au chapitre V, il explique en deux pages comment l'on peut faire décrire à la variable complexe z, au lieu du plan, une surface T à portions superposées recouvrant ce plan, il définit ce qu'il appelle déjà point de ramification d'ordre m − 1 de T et il montre ce que l'on gagne en généralité à considérer des fonctions holomorphes sur T. Ces explications ont à peine vieilli : aujourd'hui, on dit que l'espace connexe T est une surface de Riemann étalée dans le plan C̄ achevé (obtenu par adjonction d'un point ∞), s'il existe une application ϕ continue de T dans C̄, dont la restriction à un voisinage ouvert de chaque point ordinaire de T est un homéomorphisme, tandis qu'à un point de ramification a, d'ordre m − 1, correspond un homéomorphisme ψ d'un voisinage ouvert de a sur un voisinage ouvert de l'origine, tel que pour z voisin de a on a :

Depuis 1850, les surfaces de Riemann n'ont cessé d'intéresser les mathématiciens : pour leur géométrie, pour leur classification selon que certaines fonctions existent ou non sur la surface, pour définir les fonctions algébriques, étudier les fonctions automorphes, etc., et aussi pour donner à la théorie axiomatique du potentiel un domaine concret révélant l'indépendance des axiomes.

Au chapitre vi de sa thèse, Riemann définit et étudie l'ordre de connexion d'une surface, notion nouvelle même pour un ouvert du plan : un ouvert connexe du plan a l'ordre de connexion n si l'on peut en retirer, sans qu'il cesse d'être connexe, au plus n − 1 coupures allant de sa frontière à sa frontière. Pour étendre cette notion à une surface de Riemann, il suffit d'en définir la frontière, et d'admettre aussi les coupures fermées, c'est-à-dire partant d'un point de la surface et y revenant.