RIEMANN BERNHARD (1826-1866)
Représentation conforme
C'est encore dans la thèse de Riemann (chap. xxi) qu'on trouve son célèbre théorème : Deux surfaces de Riemann simplement connexes données peuvent toujours être représentées conformément l'une sur l'autre ; les images dans la seconde d'un point de la première et d'un point de sa frontière peuvent être choisies arbitrairement, et la représentation est alors déterminée de façon unique.
Riemann ne consacre à la démonstration que trois pages, en s'appuyant sur le principe de Dirichlet discuté (cf. supra, Fonctions harmoniques et principe de Dirichlet) : c'est dire la nécessité d'une mise au point ; il apparut vite que l'énoncé était incorrect en ce qui concerne les frontières si elles sont quelconques, non pas d'ailleurs à cause des points irréguliers, puisqu'un ouvert simplement connexe n'en a pas. Les problèmes ainsi posés furent résolus par Poincaré, Caratheodory et Lindelöf principalement.
Les surfaces de Riemann multiplement connexes posaient d'autres problèmes, dont plusieurs furent résolus par Köbe : d'après son théorème fondamental (« Journal de Crelle », 1910), si une surface de Riemann cesse d'être connexe dès qu'on en retire une courbe fermée, elle admet une représentation conforme sur un ouvert du plan ; dans la démonstration, on retrouve le principe de Dirichlet.
Un ami de Riemann publia en 1867 un mémoire, Sur les surfaces d'aire minima pour un contour donné (en abrégé « surfaces minima »), où le mathématicien aborde ce problème géométrique par une méthode nouvelle, devenue classique, utilisant des fonctions holomorphes d'une variable complexe.
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
Classification
Pour citer cet article
Michel HERVÉ. RIEMANN BERNHARD (1826-1866) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
-
DISSERTATIONS (B. Riemann)
- Écrit par Bernard PIRE
- 215 mots
- 1 média
La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit « genre » de la... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 6 250 mots
- 1 média
Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du... -
CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)
- Écrit par Jeanne PEIFFER
- 836 mots
Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...
-
DÉMONSTRATION (notions de base)
- Écrit par Philippe GRANAROLO
- 3 085 mots
...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une... - Afficher les 19 références
Voir aussi
- ABÉLIENNES FONCTIONS
- SCIENCES HISTOIRE DES, XIXe s.
- NOMBRES THÉORIE ANALYTIQUE DES
- NOMBRES PREMIERS THEORÈME DES
- DIRICHLET PROBLÈME DE
- GENRE D'UNE COURBE OU D'UNE SURFACE
- THÊTA FONCTION
- RIEMANN INTÉGRALE DE
- REPRÉSENTATION CONFORME
- RIEMANN SURFACE DE
- HARMONIQUES FONCTIONS
- RIEMANN HYPOTHÈSE DE
- MATHÉMATIQUES HISTOIRE DES
- RIEMANN SÉRIES DE
