RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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Fonctions algébriques et abéliennes

Riemann approfondit les questions précédentes dans un mémoire fondamental de 1857, Théorie des fonctions abéliennes, souvent considéré comme son chef-d'œuvre, car il y introduisait des notions entièrement nouvelles dont la fécondité n'est pas encore épuisée.

Une surface de Riemann peut être sans frontière : il dit alors qu'elle est fermée, et montre (chap. iii du mémoire) que son ordre de connexion est un entier impair n = 2 + 1, où p est le genre de la surface. Par exemple, une surface homéomorphe à un tore (ne rencontrant pas son axe) est triplement connexe, donc de genre 1, car le tore devient simplement connexe quand on en retire un méridien et un parallèle.

C'est sur une surface de Riemann fermée qu'on peut définir une fonction algébrique z ↦ s(z) vérifiant une relation algébrique P(zs) = 0, où P est un polynôme irréductible. Le genre de la surface est aussi celui de la relation algébrique ; par exemple, la relation :

uniformisée par la fonction elliptique P de Weierstrass, est de genre 1. Les fonctions abéliennes attachées à la relation algébrique sont les intégrales, le long de chemins tracés sur la surface, des fonctions rationnelles de z et de s : Riemann les caractérise et en distingue (chap. iv) trois espèces selon leurs discontinuités. Au chapitre xii, il considère « comme faisant partie d'une même classe toutes les relations algébriques transformées les unes dans les autres par des substitutions birationnelles » ; au chapitre xiii, il détermine les relations de degré minimum dans une classe donnée. Puis (chap. xvii) il étend à p variables, u1, ..., up, la fonction η de Jacobi (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) en formant une série p -uple d'exponentielles dont la somme, notée θ, est inchangée quand on ajoute à u = (u1, ..., up) l'un des vecteurs :
et est multipliée par l'exponentielle d'une fonction affine quand on ajoute à u l'un des vecteurs :

Pour la convergence de la série, ces 2 p vecteurs doivent être convenablement choisis, par exemple de la manière suivante : les p premiers forman [...]

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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « RIEMANN BERNHARD - (1826-1866) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/bernhard-riemann/