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RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

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Fonctions algébriques et abéliennes

Riemann approfondit les questions précédentes dans un mémoire fondamental de 1857, Théorie des fonctions abéliennes, souvent considéré comme son chef-d'œuvre, car il y introduisait des notions entièrement nouvelles dont la fécondité n'est pas encore épuisée.

Une surface de Riemann peut être sans frontière : il dit alors qu'elle est fermée, et montre (chap. iii du mémoire) que son ordre de connexion est un entier impair n = 2 p + 1, où p est le genre de la surface. Par exemple, une surface homéomorphe à un tore (ne rencontrant pas son axe) est triplement connexe, donc de genre 1, car le tore devient simplement connexe quand on en retire un méridien et un parallèle.

C'est sur une surface de Riemann fermée qu'on peut définir une fonction algébrique z ↦ s(z) vérifiant une relation algébrique P(z, s) = 0, où P est un polynôme irréductible. Le genre de la surface est aussi celui de la relation algébrique ; par exemple, la relation :

uniformisée par la fonction elliptique P de Weierstrass, est de genre 1. Les fonctions abéliennes attachées à la relation algébrique sont les intégrales, le long de chemins tracés sur la surface, des fonctions rationnelles de z et de s : Riemann les caractérise et en distingue (chap. iv) trois espèces selon leurs discontinuités. Au chapitre xii, il considère « comme faisant partie d'une même classe toutes les relations algébriques transformées les unes dans les autres par des substitutions birationnelles » ; au chapitre xiii, il détermine les relations de degré minimum dans une classe donnée. Puis (chap. xvii) il étend à p variables, u1, ..., up, la fonction η de Jacobi (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) en formant une série p -uple d'exponentielles dont la somme, notée θ, est inchangée quand on ajoute à u = (u1, ..., up) l'un des vecteurs :
et est multipliée par l'exponentielle d'une fonction affine quand on ajoute à u l'un des vecteurs :

Pour la convergence de la série, ces 2 p vecteurs doivent être convenablement choisis, par exemple de la manière suivante : les p premiers formant la base canonique de Cp, les coordonnées des p derniers sont les éléments d'une matrice symétrique de partie imaginaire définie positive.

Ces fonctions θ particulières suffisent à résoudre le problème d'inversion que Riemann a en vue : prenant (chap. xviii) pour u un système de p fonctions abéliennes indépendantes de première espèce (continues partout) et pour τ1, ..., τ2 les variations de u sur 2 p coupures rendant la surface simplement connexe, il obtient une fonction θ du type ci-dessus, dont les translatées permettent d'exprimer toute fonction rationnelle de z et de s.

Quant aux « fonctions thêta générales », dit Riemann, elles « restent exclues de cette étude, mais peuvent se traiter par une méthode analogue ». Les fragments posthumes de ses œuvres, en particulier sa correspondance avec Weierstrass, font penser qu'il savait, d'une part, que 2 p périodes indépendantes τ1, ..., τ2p d'une fonction méromorphe sur Cp doivent être liées précisément par les relations qui assurent la convergence des séries θ générales, et, d'autre part, que la fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions θ relatives aux 2 p vecteurs τ1, ..., τ2p : aussi le premier résultat est-il appelé théorème de Riemann. Mais la démonstration complète de tout cela demanda les efforts de plusieurs mathématiciens parmi les plus grands : Weierstrass, Frobenius, Picard, Poincaré.

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Pour citer cet article

Michel HERVÉ. RIEMANN BERNHARD (1826-1866) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Autres références

  • DISSERTATIONS (B. Riemann)

    • Écrit par
    • 215 mots
    • 1 média

    La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par
    • 8 527 mots
    ...x1 + x2 et x1x2 comme fonctions analytiques des deux variables complexes u1, u2, ces fonctions étant quadruplement périodiques. Weierstrass et Riemann menèrent à bien la solution du problème général, qui introduit un invariant algébrique fondamental, l'entier p dit «   genre » de la...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par et
    • 6 250 mots
    • 1 média
    Développements asymptotiques - crédits : Encyclopædia Universalis France
    Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du...

  • CLEBSCH RUDOLF FRIEDRICH ALFRED (1833-1872)

    • Écrit par
    • 836 mots

    Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. Kaliningrad) et mort le 7 novembre 1872 à Göttingen. Il fit ses études à l'université de sa ville natale (1850-1854). Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée...

  • DÉMONSTRATION (notions de base)

    • Écrit par
    • 3 085 mots
    ...suffit à démontrer l’inexactitude de la proposition initiale. Pour procéder ainsi, deux mathématiciens, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) et Bernhard Riemann (1826-1866) partirent d’axiomes différents de celui d’Euclide. Lobatchevski partit de l’axiome selon lequel par un point en dehors d’une...
  • Afficher les 19 références
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