POTENTIEL THÉORIE DU

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La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xixe siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'avec C. F. Gauss (1840) que sont posés et résolus, bien qu'imparfaitement, les grands problèmes de la théorie. Les idées de ce dernier sont si exemplaires qu'elles sont encore utilisées à l'heure actuelle, et il fallut attendre Frostman (1935) pour que le travail de Gauss fût amélioré en précision et en rigueur par l'introduction des outils nouveaux que s'était entre-temps forgés l'analyse.

On commencera par exposer les éléments fondamentaux qui permettront d'énoncer les problèmes et les principes les plus importants et les plus spécifiques de la théorie du potentiel : théorèmes de convergence, principe de domination, problème du balayage (cela afin d'arriver de la façon la plus directe à des résultats suffisamment précis). On se limitera ainsi au cas d'un ouvert borné, et on omettra de parler de « topologie fine » et de tout un chapitre de la théorie fine du potentiel. On ne pourra pas, non plus, parler des théories plus spéciales, comme par exemple la théorie très importante des potentiels besséliens d'Aronszajn et Smith. On envisagera quelques-unes des théories axiomatiques ou dérivées, issues de la théorie du potentiel, en mettant l'accent sur le lien avec la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles : c'est là un centre de recherche important.

Le sujet est immense et la théorie du potentiel occupe une position centrale en analyse. En étudiant l'existence d'une solution du problème de Dirichlet, I. Fredholm considéra l'équation intégrale qui porte son nom ; c'est aussi à l'occasion de l'étude d'un critère de polyharmonicité que Laurent Schwartz a été amené à définir les distributions. Les problèmes de Dirichlet et de Neumann sont également des problèmes fondamentaux de la théorie des équations aux dérivées part [...]

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Pour citer l’article

Arnaud de la PRADELLE, « POTENTIEL THÉORIE DU », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/