NUMÉRIQUE ANALYSE

Problématique

On se donne une forme linéaire continue L sur un espace vectoriel normé de fonctions E.

Voici deux exemples fondamentaux :

– Intégrale. E = C([a, b]) est ici l'espace des fonctions continues sur[a, b]muni de la norme N_∞ et :

Un cadre unificateur pour ces deux types d'exemples est celui des mesures et des distributions.

La difficulté de calculer des valeurs approchées de L(f ) provient du fait que, dans la plupart des cas, on connaît les valeurs de f, voire des valeurs approchées, en certains points seulement de[a, b]. On est donc amené à approcher L par une mesure μ à support fini, c'est-à-dire à approcher L(f ) par :

Plus généralement, on veut étudier les processus linéaires d'interpolation de L par des formes linéaires continues L_n sur E. Il convient de noter qu'il s'agit ici de convergence faible, c'est-à-dire que, pour tout f de E, la suite (L_n(f )) tend vers L(f ). Très souvent, pour approcher L(f ), on se donne un processus linéaire d'approximation de f, c'est-à-dire une suite (u_n) d'endomorphismes continus de E tels que u_n(f ) converge vers f et u_n(g) converge vers g pour g appartenant à un sous-espace dense de E, par exemple si g est un polynôme. On approche alors L(f ) par L_n(f ) = L(u_n(f )). De ce point de vue, l'étude du processus (L_n) se ramène à celle des processus (u_n). Mais il y a une différence essentielle : dans le cas du processus (u_n), on s'intéresse à la convergence au sens de la norme de E, tandis que, pour le processus (L_n), on s'intéresse à la convergence de L(u_n(f )) vers L(f ) dans C. Il en est de même pour l'étude de la stabilité, de la convergence et de l'optimisation.

Les résultats concernant la stabilité et la consistance s'expriment ici de la manière suivante.

Théorème 1. On suppose E complet. Si le processus d'approximation est stable, c'est-à-dire si la suite de terme général ∥L_n∥ est bornée, et si L_n(g) tend vers L(g) pour g appartenant à un sous-espace dense de E, alors L_n(f ) tend vers L(f ) pour tout f de E.

Soit, en particulier, E = C([a, b]) muni de la norme N_∞. Si ∥L_n∥ ≤ M et si, pour tout monôme x^p, L_n(x^p) → L(x^p), alors, pour toute fonction continue f, L_n(f ) → L(f ).

Le cas des formes linéaires positives est particulièrement simple, en raison du résultat suivant qui exprime qu'une forme linéaire positive sur C([a, b]) est une mesure de Radon.

Théorème 2. Toute forme linéaire positive ϕ sur l'espace vectoriel C([a, b]) muni de la norme N_∞ est continue.

Plus précisément :

Dans le cas des mesures à support fini, où μ est donné par la formule (1), alors ∥μ∥ = Σ|λ_j|. Si μ est positive, on a ∥μ∥ = Σ λ_j = μ(1) ; en revanche, si les λ_j ne sont pas tous positifs, il peut arriver que, par compensation de signes, |μ(1)| soit petit, bien que ∥μ∥ soit très grand.

En combinant les théorèmes 1 et 2, on obtient ce qui suit.

Théorème 3. Soit L et (L_n) des formes linéaires positives sur C([a, b]). Si, pour tout monôme x^p, L_n(x^p) → L(x^p), alors :

(a) le processus (L_n) est stable, car ∥L_n∥ = |L_n(1)| → L(1) ;

(b) le processus est convergent, c'est-à-dire, pour toute fonction continue f, L_n(f ) → L(f ).

Plaçons-nous maintenant dans le cas particulièrement important où (L_n) est défini[...]