NUMÉRIQUE ANALYSE

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Approximation des valeurs d'une forme linéaire

Le problème de l'approximation des valeurs d'une forme linéaire est étroitement lié à celui de l'approximation des fonctions.

Problématique

On se donne une forme linéaire continue L sur un espace vectoriel normé de fonctions E.

Voici deux exemples fondamentaux :

– Intégrale. E = C([ab]) est ici l'espace des fonctions continues sur [ab] muni de la norme N et :

plus généralement, si π est un poids, c'est-à-dire une fonction continue strictement positive sur ]ab[ telle que :
on prend :
– Dérivée en un point. Ici E = C1([ab]), muni de la norme ↦ N() + N(′) et :

Un cadre unificateur pour ces deux types d'exemples est celui des mesures et des distributions.

La difficulté de calculer des valeurs approchées de L() provient du fait que, dans la plupart des cas, on connaît les valeurs de f, voire des valeurs approchées, en certains points seulement de [ab]. On est donc amené à approcher L par une mesure μ à support fini, c'est-à-dire à approcher L() par :

Plus généralement, on veut étudier les processus linéaires d'interpolation de L par des formes linéaires continues Ln sur E. Il convient de noter qu'il s'agit ici de convergence faible, c'est-à-dire que, pour tout f de E, la suite (Ln()) tend vers L(). Très souvent, pour approcher L(), on se donne un processus linéaire d'approximation de f, c'est-à-dire une suite (un) d'endomorphismes continus de E tels que un() converge vers f et un(g) converge vers g pour g appartenant à un sous-espace dense de E, par exemple si g est un polynôme. On approche alors L() par Ln() = L(un()). De ce point de vue, l'étude du processus (Ln) se ramène à celle des processus (un). Mais il y a une différence essentielle : dans le cas du processus (un), on s'intéresse à la convergence au sens de la norme de E, tandis que, pour le processus (Ln), on s'intéresse à la convergence de L(un()) vers L() dans C. Il en est de même pour l'étude de la stabilité, de la convergence et de l'optimisation.

Les résultats concernant la stabilité et la consistance s'expriment ici de la manière suivante.

Théorème 1. On suppose E complet. Si le processus d'approximation est stable, c'est-à-dire si la suite de terme général ∥Ln∥ est bornée, et si Ln(g) tend vers L(g) pour g appartenant à un sous-espace dense de E, alors Ln() tend vers L() pour tout f de E.

Soit, en particulier, E = C([ab]) muni de la norme N. Si ∥Ln∥ ≤ M et si, pour tout monôme xp, Ln(xp) → L(xp), alors, pour toute fonction continue f, Ln() → L().

Le cas des formes linéaires positives est particulièrement simple, en raison du résultat suivant qui exprime qu'une forme linéaire positive sur C([ab]) est une mesure de Radon.

Théorème 2. Toute forme linéaire positive ϕ sur l'espace vectoriel C([ab]) muni de la norme N est continue.

Plus précisément :

par suite ∥ϕ∥ = |ϕ(1)|.

Dans le cas des mesures à support fini, où μ est donné par la formule (1), alors ∥μ∥ = Σ|λj|. Si μ est positive, on a ∥μ∥ = Σ λj = μ(1) ; en revanche, si les λj ne sont pas tous positifs, il peut arriver que, par compensation de signes, |μ(1)| soit petit, bien que ∥μ∥ soit très grand.

En combinant les théorèmes 1 et 2, on obtient ce qui suit.

Théorème 3. Soit L et (Ln) des formes linéaires positives sur C([ab]). Si, pour tout monôme xp, Ln(xp) → L(xp), alors :

(a) le processus (Ln) est stable, car ∥Ln∥ = |Ln(1)| → L(1) ;

(b) le processus est convergent, c'est-à-dire, pour toute fonction continue f, Ln() → L().

Plaçons-nous maintenant dans le cas particulièrement important où (Ln) est défini d'une suite (pn) de projecteurs de C([ab]) sur le sous-espace vectoriel Pn des polynômes de degré ≤ n, c'est-à-dire où Ln() = L(pn()) ; les interpolations de Lagrange ou d'Hermite constituent des exemples significatifs de cette situation.

Dans ces conditions, on a l'estimation suivante de la précision :

où δn() désigne la distance de f au sous-espace Pn.

Pour étudier la convergence et la rapidité de la convergence du processus (Ln), il suffit d'évaluer les nombres ∥Ln∥, appelés constantes de Lebesgue du processus.

Théorème 4. Cas des formes linéaires positives.

Lorsque L et Ln sont des formes linéaires positives, alors, pour toute fonction continue f,

Ainsi, la rapidité de convergence ne dépend que de la régularité de f.

Nous verrons dans la suite comment ces différents résultats interviennent dans le calcul approché des intégrales.

Calcul approché des intégrales

Cadre théorique

Soit f une fonction continue sur [α, β]. Pour obtenir des valeurs approchées de :

on effectue une subdivision à pas constants de [α, β] et, sur chaque intervalle [ab] ainsi déterminé, on effectue une interpolation de f par une fonction polynomiale de degré ≤ pp est un entier donné.

On introduit donc un système interpolateur S = {α0, α1, ..., αp} de points de [ab] et le noyau interpolateur :

mais, cette fois, on ne s'intéresse pas au polynôme LS() d'interpolation de Lagrange associé à f mais à son intégrale sur [ab]. On est alors amené à étudier le problème suivant : Soit P un élément de l'espace vectoriel Pp des polynômes de degré ≤ p ; peut-on exprimer :
comme combinaison linéaire des valeurs P(αj) ? Plus précisément, on a le théorème suivant.

Théorème 1. Interpolation de l'intégrale d'un polynôme.

Il existe une suite λ0, ..., λp et une seule de nombres complexes telle que, pour tout polynôme P ∈ Pp, on ait :

En effet, les formes linéaires δj : P↦P(αj) sont indépendantes, donc forment une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur Pp. L'intégrale se décompose donc de manière unique dans cette base.

Pour le calcul explicite des coefficients λj, on prend des polynômes convenablement choisis, par exemple :

Si maintenant f est une fonction non polynomiale, on approche :

par :

Le problème est alors de majorer |I() − IS()|. On remarque pour cela que I() = IS() pour ∈ Pp. Ainsi, lorsque f est suffisamment régulière, l'erreur commise en remplaçant I() par IS() provient des termes d'ordre > p dans le développement de Taylor, en a par exemple. Plus précisément, comme IS() = I(LS()) et comme la fonction f − LS() s'annule aux points αj, le théorème de division des fonctions différentiables permet de prouver le résultat qui suit.

Théorème 2. Estimation de la précision.

Soit f une fonction de classe Cp+1 sur [ab] à valeurs complexes ; alors :

où :

On obtient une autre estimation, beaucoup plus fine que celle qui est donnée par le théorème 2, par la théorie de l'optimisation. En appliquant le théorème 4 du chapitre précédent, on obtiendra ce qui suit.

Théorème 3. Estimation optimale de la précision.

Soit f une fonction continue sur [ab] ; alors :

où δp() est la distance de f au sous-espace vectoriel Pp des polynômes de degré ≤ p et où KS est la constante de Lebesgue du système interpolateur S, à savoir :

En particulier, si tous les nombres λj sont positifs, alors, en prenant P = 1 dans la relation (1), on a :

si bien que :

On voit donc app [...]

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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY, « NUMÉRIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/