NUMÉRIQUE ANALYSE

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Approximation des valeurs d'une forme linéaire

Le problème de l'approximation des valeurs d'une forme linéaire est étroitement lié à celui de l'approximation des fonctions.

Problématique

On se donne une forme linéaire continue L sur un espace vectoriel normé de fonctions E.

Voici deux exemples fondamentaux :

– Intégrale. E = C([ab]) est ici l'espace des fonctions continues sur [ab] muni de la norme N et :

plus généralement, si π est un poids, c'est-à-dire une fonction continue strictement positive sur ]ab[ telle que :
on prend :
– Dérivée en un point. Ici E = C1([ab]), muni de la norme ↦ N() + N(′) et :

Un cadre unificateur pour ces deux types d'exemples est celui des mesures et des distributions.

La difficulté de calculer des valeurs approchées de L() provient du fait que, dans la plupart des cas, on connaît les valeurs de f, voire des valeurs approchées, en certains points seulement de [ab]. On est donc amené à approcher L par une mesure μ à support fini, c'est-à-dire à approcher L() par :

Plus généralement, on veut étudier les processus linéaires d'interpolation de L par des formes linéaires continues Ln sur E. Il convient de noter qu'il s'agit ici de convergence faible, c'est-à-dire que, pour tout f de E, la suite (Ln()) tend vers L(). Très souvent, pour approcher L(), on se donne un processus linéaire d'approximation de f, c'est-à-dire une suite (un) d'endomorphismes continus de E tels que un() converge vers f et un(g) converge vers g pour g appartenant à un sous-espace dense de E, par exemple si g est un polynôme. On approche alors L() par Ln() = L(un()). De ce point de vue, l'étude du processus (Ln) se ramène à celle des processus (un). Mais il y a une différence essentielle : dans le cas du processus (un), on s'intéresse à la convergence au sens de la norme de E, tandis que, pour le processus (Ln), on s'intéresse à la convergence de L(un()) vers L() dans C. Il en est de même pour l'étude de la stabilité, de la convergence et de l'optimisation.

Les résultats concernant la stabilité et la consistance s'expriment ici de la manière [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « NUMÉRIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/