NUMÉRIQUE ANALYSE

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Accélérations de convergence

Problématique

On suppose donnée une forme linéaire continue L sur un espace vectoriel normé de fonctions E et un processus linéaire d'interpolation (Ln) de L. Pour tout élément f de E, la suite numérique an = Ln() converge ou non vers a = L() ; il peut arriver que la suite (an) diverge, ou encore qu'elle converge vers a, mais trop lentement pour être utilisable en analyse numérique.

Voici deux exemples très élémentaires mais fondamentaux d'une telle situation.

Sommes de séries. Ici E est l'espace vectoriel l1(C) des suites sommables muni de la norme N1. L'application qui à u = (up) associe

est une forme linéaire continue qu'on approche par les sommes partielles Sn(u) = sn ; ici le processus d'approximation est stable, puisque ∥Sn∥ = 1. La qualité de l'approximation de S(u) est mesurée par le reste rn = (S − Sn)(u).

L'exemple classique des séries de Riemann

montre que la convergence peut être lente puisque alors :
lorsque α = 2, il faudrait prendre 1010 termes pour obtenir la précision 10−10.

Dans d'autres cas, les sommes partielles divergent vers + ∞ mais, par un développement asymptotique, on se ramène à l'étude d'une suite convergente. L'exemple de la série harmonique :

est frappant :
on cherche alors à approcher la constante d'Euler :
Intégrales. Ici E = C([ab]) est l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] à valeurs complexes muni de la norme N. L'application qui à un élément f associe :
est une forme linéaire continue qu'on peut approcher par un processus interpolatoire (In). Dans la méthode des rectangles, ou des trapèzes, on a ∥In∥ = 1, et le processus est donc stable, mais la rapidité de convergence est médiocre, de l'ordre de 1/n pour les rectangles et de 1/n2 pour les trapèzes.

Pour améliorer la performance, on peut soit changer complètement d'algorithme d'approximation – pour les intégrales, on peut, par exemple, recourir à des méthodes gaussiennes –, soit garder le même algorithme de base (Ln) mais améliorer sa rapidité de convergence par des transformations purement algébriques portant sur la suite (Ln()) ; on dit [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « NUMÉRIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/