Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à partir de quoi l'on explique et déploie, région originaire où prend racine le riche contenu de l'expérience instruite, tel apparaît le sens fort de l'expression « fondement ». À prendre le mot en ce sens, la question du « fondement des mathématiques » déboucherait sur un problème métaphysique. Elle consisterait à se demander : Pourquoi existe-t-il une mathesis ? De quelle région de l'Être le mathématicien instaure-t-il son discours ? Dans quels champs d'objets se déploient et de quelle origine sont les enchaînements opératoires qui, dans leur ordonnance réglée, manifestent les êtres et les propriétés mathématiques ? Sur ces questions, de Pythagore à Husserl (pour fixer deux bornes), la tradition philosophique n'a pas été avare de paroles. Il s'en faut.
Depuis un demi-siècle cependant, l'expression « fondements des mathématiques » a acquis un sens plus restreint et plus précis. C'est en vain, par exemple, que l'on chercherait dans le monumental ouvrage de David Hilbert et Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, un discours philosophique apportant aux questions que nous venons de poser une réponse organiquement développée. En revanche, on y trouve l'exposé d'un ensemble de méthodes mathématiques propres (tel était du moins le projet des auteurs) à assurer la validité des enchaînements démonstratifs que proposent les mathématiques effectivement produites. Les méthodes employées débouchent, certes, sur une conception des mathématiques, sur une interprétation de la nature de leurs objets et de leurs opérations. Mais ni cette conception ni cette interprétation ne sont strictement requises pour la mise en œuvre des méthodes elles-mêmes.
C'est en ce sens restreint que nous prendrons ici l'expres […]
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