AXIOME

Articles

• ARISTOTE (env. 385-322 av. J.-C.)

  • Écrit par Pierre AUBENQUE
  • 23 786 mots
  • 2 médias
  ...mathématiciens dont les travaux aboutiront quelques décennies plus tard à la systématisation d'Euclide. Chaque science repose sur des prémisses premières, nommées axiomes, qui ne peuvent être démontrées sans cercle vicieux à l'intérieur de la science considérée, puisqu'elles sont présupposées par toutes ses démonstrations...

• AXIOMATIQUE

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 2 036 mots

  La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique...

• CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 1 391 mots

  Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix^e siècle et surtout le début du xx^e, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

• DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par Philippe GRANAROLO
  • 3 085 mots
  ...tous les théorèmes qu’avaient démontrés ses prédécesseurs, puis il montre qu’il faut accepter, en deçà des théorèmes démontrés, des hypothèses de départ, qu’il dénomme « axiomes » et « postulats ». Pour Euclide, certains de ces points de départ relèvent de l’évidence, et c’est à ceux-là qu’il donne le nom...

• FORMALISME

  • Écrit par Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
  • 5 001 mots
  • 1 média
  ...définit un sous-ensemble de formules qu'on appelle les axiomes du système. Le plus souvent, on peut décider effectivement si une formule donnée est un axiome, et on parle alors de théorie axiomatique. Intuitivement, les axiomes représentent des propositions qui sont considérées comme vraies sans démonstration,...

• GÉOMÉTRIE

  • Écrit par François RUSSO
  • 10 631 mots
  • 4 médias
  ...fondée de façon satisfaisante par une démarche dégagée de toute intuition sensible, et Hilbert démontre – préoccupation étrangère à Euclide – que les axiomes retenus sont indépendants et qu'ils ne conduisent pas à des contradictions. Ensuite, des mathématiciens, tel Gustave Choquet dans L'Enseignement...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  ...déterminer « un système d'axiomes contenant une description exacte et complète des rapports que soutiennent les idées élémentaires de cette science ». Les axiomes constituent, en même temps, une définition de ces idées élémentaires, et les seules assertions relevant de cette science qui soient réputées...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 434 mots
  • 1 média
  ...langage cartésien), une constante fidélité aux lois de constitution des objets d'entendement. De là cette conséquence que les propositions prises comme axiomes (les « hypothèses » qui servent de base à la construction déductive) le sont en vertu d'un caractère intrinsèque. Leur caractère « indémontrable...

• OBJET MATHÉMATIQUE

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 1 058 mots

  Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles...

• RELATION

  • Écrit par Jean LADRIÈRE
  • 7 566 mots
  Mais le choix du point de vue intensionnel impose une contre-partie : il faudra introduire un axiome spécial stipulant que tout couple d'individus est caractérisé par une relation (en ce sens qu'à tout couple correspond une relation qui se vérifie de ce couple et ne se vérifie d'aucun autre)....

• RUSSELL BERTRAND lord (1872-1970)

  • Écrit par Philippe DEVAUX
  • 6 085 mots
  • 1 média
  Dans les Principia, la définition de (p ⊃ q) est parfois dite contextuelle. À cela il y a deux raisons. D'une part, l'axiomatique du système déductif dont procède toute la logique s'exprime exclusivement à l'aide de la somme logique entre propositions élémentaires ; les...

• STRUCTURALISME, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 1 691 mots
  L'idée que les mathématiques ne sont ni la science des nombres, ni celles des figures, ni celle des ensembles, maiscelle des structures, provient de la pratique de l'axiomatisation (progressivement acceptée par tous les mathématiciens), et plus spécifiquement de l'école algébrique de Van den Waerden,...