3. La logique mathématique contemporaine
On trouvera ailleurs (cf. cantor, frege, logique mathématique) l'exposé des travaux de Frege et de Cantor, que nous ne pourrions ici qu'évoquer de la manière la plus insignifiante.
Nous nous contenterons de quelques remarques de caractère épistémologique.
• L'arithmétisation de l'analyse
Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte mathématique. L'analyse y est entièrement arithmétisée. Quelques-unes des structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux) sont dégagées. Le corpus mathématique contient des régions « canoniques » qui s'offrent comme des systèmes axiomatisés d'énoncés (cf. les leçons de Weierstrass sur la théorie des fonctions telles que nous les connaissons d'après Kossak). Du même mouvement (et dans le champ, au point de départ rigoureusement construit, de l'analyse) se marquent des régions de problèmes, des exigences d'extension (par exemple, traitement des fonctions discontinues les plus générales ; problèmes de la représentation d'une fonction arbitraire par un développement en série de Fourier ; extension des classes de fonctions analytiques, etc.). Ce qui distingue les œuvres de Cantor et de Frege, c'est d'abord qu'elles ne s'articulent pas au même point de la configuration.
Les recherches de Frege s'articulent sur le point de départ (l'arithmétique) et concernent explicitement le fondement. Rien n'est encore accompli, aux yeux de Frege, si demeure incertain le concept de nombre entier qui, ainsi que l'avait établi Karl Weierstrass et proclamé Leopold Kronecker, constitue le point de départ de la construction de l'analyse. Le problème est donc de produire un système théorique dont la sûreté soit au moins équivalente à celle des régions canoniques du champ mathématique, système dans lequel on puisse définir, sans ambiguïté ni contradictions, le concept d'entier et enchaîner les énoncés de propriétés du domaine d'objets (les entiers) ainsi produit. Ce qu'on appelle le « logicisme » de Frege résulte de la […]
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