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MATHÉMATIQUE

La mathématique est une science hypothético-déductive qui, en développant un langage autonome, élabore et étudie des notions abstraites liées les unes aux autres et souvent capables de fournir des modèles et des processus opératoires permettant de mieux comprendre de nombreux aspects du monde observable, en particulier lorsque peuvent être invoquées des idées de quantité, de forme et de partie de quelque chose.

Riche d'une histoire immémoriale, elle a pris un essor prodigieux et unificateur au cours du xxe siècle. Son étude et sa pratique constituent, par la difficulté de certaines de ses parties et par la rectitude de raisonnement qu'elle exige, un exercice formateur de l'intelligence et de la volonté. Par la beauté de sa construction théorique structurée et de certains de ses aspects plus visibles (courbes, surfaces...), et par le plaisir que l'on peut éprouver à la résolution de certains problèmes, la mathématique est aussi un espace esthétique et ludique sans fin. Par la rigueur de la pensée et l'honnêteté dans les résultats qu'elle exige, et par un mélange de liberté relative dans les notions définissables et d'humilité devant les limitations rencontrées, la mathématique peut éduquer à la probité intellectuelle.

1.  Une science hypothético-déductive

S'appuyant sur une logique généralement bivalente (à deux valeurs : vrai et faux), la mathématique se développe à partir d'un petit nombre de notions premières indéfinissables, d'hypothèses appelées axiomes, non démontrables mais mettant en relation ces notions premières, et de règles permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. Parmi les notions premières, les principales sont celles d'ensemble et d'appartenance, qui sont liées par divers axiomes pour former la théorie des ensembles.

Les objets mathématiques, c'est-à-dire les entités abstraites que définit (ou adopte comme notions premières indéfinissables) et étudie la mathématique, sont soit des ensembles, soit (pour remédi … ]

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ABEL PRIX

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

… *Le prix international Abel pour les mathématiques, décerné depuis 2003, est la plus haute distinction dans cette science. Oscar II, roi de Suède et de Norvège, avait proposé en 1902 d'instituer ce prix en l'honneur du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802-1829), mais cette idée avait été abandonnée en 1905 lors de la désunion des deux… Lire la suite
ALGÈBRE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Biographies :   *L'algèbre au sens moderne, à savoir l'étude des structures algébriques indépendamment de leurs réalisations concrètes, ne s'est dégagée que très progressivement au cours du xixe siècle, en liaison avec le mouvement général d'axiomatisation de l'Lire la suite
ALGORITHMIQUE

Écrit par :  Philippe COLLARDPhilippe FLAJOLET

*L'objet de l'algorithmique est la conception, l'évaluation et l'optimisation des méthodes de calcul en mathématiques et en informatique. Un algorithme consiste en la spécification d'un schéma de calcul, sous forme d'une suite d'opérations élémentaires obéissant à un enchaînement déterminé. Le terme d'Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviiie siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette… Lire la suite
ANALYSE NON STANDARD

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Au* milieu du xxe siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale – de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté… Lire la suite
ANNEAUX COMMUTATIFS

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*Dans tout ce qui suit, on se bornera à considérer des anneaux commutatifs unitaires, c'est-à-dire possédant un élément unité pour la multiplication, noté 1. Les définitions sont celles de l'article suivant, anneaux et algèbres. De nombreux cas particuliers d'anneaux commutatifs unitaires ont été… Lire la suite
ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*Définis par des axiomes qui dégagent les les propriétés usuelles des opérations d'addition et de multiplication dans les ensembles de nombres ou les polynômes, les anneaux constituent le cadre général dans lequel on peut appliquer les règles du calcul algébrique élémentaire. Nous donnerons dans cet article… Lire la suite
AXIOMATIQUE

Écrit par :  Georges GLAESER

*La méthode axiomatique est un mode d'exposition des sciences exactes fondé sur des propositions admises sans démonstration et nettement formulées et des raisonnements rigoureux. On se limitera ici à quelques indications méthodologiques et historiques, en renvoyant à l'article logique mathématique Lire la suite
BADIOU ALAIN (1937- )

Écrit par :  Elie DURING

Dans le chapitre "Le multiple pur"  : …  lui (théorème de Cantor), ce qui ouvre le champ à une hiérarchie d'infinis de puissance croissante. *Délivrée du thème de l'Un ou du Tout, l'ontologie ne peut être que « soustractive ». Elle se confond avec les mathématiques ensemblistes, qui prennent désormais en charge le discours de l'être en tant qu'être en affrontant les apories de l'un et du… Lire la suite
BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

… *La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). On… Lire la suite
CALCUL, mathématique

Écrit par :  Philippe FLAJOLET

… *C'est par l'utilisation de petits cailloux (caillou se dit en latin calculus) que les jeunes Romains apprenaient à compter. Le calcul est, à l'origine, étroitement associé à la notion de nombre entier et de nombre rationnel. Étant donné un mode de représentation concret des nombres – Babyloniens, Égyptiens, Grecs, Romains, Indiens ou… Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

*L'expression « calcul infinitésimal » désigne habituellement l'ensemble des notations et des méthodes fondamentales du calcul différentiel, du calcul intégral et du calcul des variations, tel qu'il a été mis au point au cours des xviie et xviiie siècles, instrument… Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

Écrit par :  Roger GODEMENT

*Créée au xviie siècle par Newton, Leibniz et leurs prédécesseurs immédiats, transformée au xviiie, par Euler, en un prodigieux instrument de calcul, débarrassée, sous la Restauration, de sa métaphysique par le baron Cauchy, l'analyse infinitésimale a, depuis longtemps… Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

Écrit par :  Georges GLAESER

*Le calcul infinitésimal des fonctions de plusieurs variables a eu un développement plus tardif que celui des fonctions d'un seul argument. Inauguré avec un siècle de retard, il ne parvient à établir solidement ses fondements qu'au début du xxe siècle. Ce n'est qu'aux environs de 1930 que… Lire la suite
CALCUL MENTAL

Écrit par :  André DELEDICQ

Dans le chapitre "Le calcul et les mathématiciens"  : …  Il* y a trois sortes de mathématiciens : ceux qui savent compter et ceux qui ne savent pas. » Cette plaisanterie peut s'entendre bien différemment selon l'angle de la réflexion. Concernant notre sujet, elle a l'avantage de mettre l'accent sur une illusion que se font en général ceux qui ne fréquentent pas de près les mathématiques : le mathématicien… Lire la suite
COMBINATOIRE ANALYSE

Écrit par :  Dominique FOATA

*L'analyse combinatoire est l'ensemble des techniques qui servent, en mathématiques, à compter (ou dénombrer) certaines structures finies, ou à les énumérer (établir des listes exhaustives de structures considérées), enfin à démontrer leur existence pour certaines… Lire la suite
COMPACITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *La notion de compacité est, en quelque sorte, à la base de toute l'analyse moderne. En ce sens, elle vient aussitôt après celles de limite et de fonction continue, auxquelles elle apporte des compléments indispensables. Pourtant, il faudra de nombreux siècles pour qu'elle soit découverte, après que Cauchy (1789-1857) eut enfin apporté la clarté… Lire la suite
COMPLEXITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

… *Au cœur de l'informatique théorique, la théorie du calcul – ou théorie de la calculabilité – née dans la décennie 1930 des travaux de Kurt Gödel (1906-1978), Alan Turing (1912-1954) et Alonzo Church (1903-1995), répond à des questions sur ce qui est faisable dans l'absolu par le calcul avec un ordinateur. Elle énonce des résultats négatifs du type… Lire la suite
CONIQUES

Écrit par :  UniversalisAndré WARUSFEL

*L'étude des coniques a été pendant deux millénaires le terrain de prédilection des géomètres qui ont accumulé sur ce sujet d'innombrables théorèmes. Dès la fin du iiie siècle avant J.-C., les mathématiciens avaient obtenu par des méthodes purement géométriques des résultats très complets : le Lire la suite
CONNEXITÉ, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *L'analyse moderne est née de l'étude des fonctions réelles f définies sur un intervalle I du corps ℝ des nombres réels, et tout particulièrement de celles qui sont continues. On sait qu'alors f est bornée, admet un maximum et un minimum et est même uniformément continue, si I est un segment. Mais la plus importante de ses… Lire la suite
CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthode axiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict… Lire la suite
CONTINUITÉ, mathématique

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

… *L'idée de continuité remonte à l'Antiquité, en particulier aux mathématiciens et philosophes grecs, dont Aristote (385 env.-322 av. J.-C.), et a longuement évolué, mais elle n'a pu prendre sa forme mathématique générale et rigoureuse que lorsque les premiers éléments de la théorie axiomatique des espaces topologiques ont été établis, c'est-à-dire… Lire la suite
CONVEXITÉ - Ensembles convexes

Écrit par :  Victor KLEE

*Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités… Lire la suite
CONVEXITÉ - Fonctions convexes

Écrit par :  Robert ROLLAND

*L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un cadre dans lequel peut se résoudre toute une classe de problèmes d'analyse fonctionnelle non linéaire ; les problèmes ainsi abordés sont des questions d'optimisation provenant de divers domaines : la mécanique, l'économie, les équations aux dérivées… Lire la suite
CORPS, mathématiques

Écrit par :  Robert GERGONDEY Universalis

*La structure de corps n'est en fait qu'un cas particulier de la structure plus générale d'anneau ; en plus des axiomes généraux, on stipule que le groupe multiplicatif des éléments inversibles est le complémentaire de 0. Les corps sont donc les domaines dans lesquels les opérations habituelles du… Lire la suite
COURBES ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Luc GAUTHIER

*En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R2 des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

Écrit par :  Claude BARDOSMartin ZERNER

*Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

Écrit par :  Claude BARDOS

*L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

Écrit par :  Martin ZERNER

*On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

Écrit par :  Martin ZERNER

*Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque… Lire la suite
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Écrit par :  Christian COATMELECMaurice ROSEAU Universalis

*Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite… Lire la suite
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

Écrit par :  Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNEMarcel DAVID Universalis

*Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que… Lire la suite
DISTRIBUTIONS, mathématiques

Écrit par :  Paul KRÉE

*Il est arrivé à plusieurs reprises que certaines exigences de la physique, par exemple, aient conduit les utilisateurs des mathématiques à des « calculs » non rigoureusement justifiables au moyen des concepts mathématiques existants, mais qui traduisaient avec succès la réalité expérimentale. C'est ainsi que l'… Lire la suite
ÉCONOMIE (Définition et nature) - Une science trop humaine ?

Écrit par :  Bernard GUERRIEN

Dans le chapitre "Économie et mathématiques "  : …  d'économie et les revues académiques ne peuvent qu'impressionner par la place qu'y occupent les *mathématiques, parfois très complexes ; les économistes sont probablement, avec les physiciens, les plus gros utilisateurs de mathématiques avancées. Il y a là de quoi surprendre : les mathématiques étant synonymes de rigueur et de précision, comment… Lire la suite
ÉCONOMIE (Définition et nature) - Enseignement de l'économie

Écrit par :  Jean-Marc DANIEL

Dans le chapitre "La mathématisation de l'économie"  : …  *La mathématisation de l'économie en France est d'abord ignorée par le monde universitaire. Si le disciple favori de Walras, Albert Aupetit, a fait des études de droit, il ne connaît guère de succès et Walras ne trouve un écho que chez quelques enseignants en école d'ingénieur. Après l'École des ponts, l'École centrale crée en 1854 un cours d'… Lire la suite
ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique

Écrit par :  Jacques STERN

*La théorie des ensembles fut créée par Georg Cantor à la fin du xixe siècle. Cependant, le caractère extrêmement général et abstrait de la notion d'ensemble permit de produire des paradoxes rendant la théorie contradictoire (cf. théorie élémentaire des ensembles). Pour échapper à… Lire la suite
ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire

Écrit par :  André ROUMANETJean-Luc VERLEY

*L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations… Lire la suite
ÉQUATION, mathématique

Écrit par :  Gilles LACHAUD

… *Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques, donc une formule de la forme B, où les deux membres A et B de l'équation sont des expressions où figurent une ou plusieurs variables, représentées par des lettres. Par extension, une équation conduit à un problème, qui consiste à… Lire la suite
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Écrit par :  Jean ITARD

*Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xixe siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est… Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE

Écrit par :  Antoine BRUNEL

*Ergodique vient du mot grec ἔργον qui signifie travail. C'est en effet d'un problème de mécanique que la théorie ergodique est issue. À l'origine se trouve une hypothèse de la théorie cinétique des gaz, audacieusement posée par L. Boltzmann en 1885, qui permettait aux physiciens de résoudre une difficulté… Lire la suite
ESPACE, mathématique

Écrit par :  Jean-Marc SCHLENKER

… *La géométrie antique, telle qu'elle apparaît dans les Éléments d'Euclide, propose une vision formalisée de l'espace. Elle traite d'objets géométriques idéalisés – points, droites, polyèdres, sections coniques, etc. – selon leurs propriétés d'incidence et leurs mesures (longueurs, aires, volumes). La description repose sur un petit nombre… Lire la suite
EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*Pour les constructeurs des premières tables, les logarithmes étaient avant tout un outil de calcul numérique ; mais leur importance n'a cessé de croître. Il suffira de feuilleter cette encyclopédie pour constater que, de nos jours, les logarithmes et les exponentielles interviennent dans tous les domaines… Lire la suite
FIELDS MÉDAILLE

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Médaille des prix internationaux de mathématiques, qui est, avec le prix Abel (depuis 2003), l'une des plus hautes distinctions dans cette science. C'est selon le désir posthume du mathématicien canadien John Charles Fields (1863-1932) que le IXe Congrès international des mathématiciens, qui s'est tenu à Zurich en septembre 1932, a… Lire la suite
FONCTION, mathématiques

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

… *Depuis l'introduction en mathématique du mot « fonction » et de la notation y = f (x) par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1692, à propos de parties de droites dépendant d'un point variable sur une courbe, cette notion, déjà présente implicitement dans la pensée de mathématiciens du xviie siècle comme René… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

Écrit par :  Christian HOUZEL

*La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

Écrit par :  Michel HERVÉ

*Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

Écrit par :  André MARTINEAUHenri SKODA

*La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits… Lire la suite
GÉNÉRATEUR, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a. Par définition d'un produit… Lire la suite
GÉOMÉTRIE

Écrit par :  François RUSSO

*La géométrie est communément définie comme la science des figures de l'espace. Cette définition un peu incertaine risque de conduire à inclure dans la géométrie des questions qui ne sont géométriques que dans leur langage, mais relèvent en fait d'autres domaines. Tel est le cas de l'algèbre géométrique des… Lire la suite
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Écrit par :  Christian HOUZEL

*Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l'algèbre relativement récente (cf. algèbrededekind). Pour « comprendre » les phénomènes d'intersection des courbes et des surfaces, il s'est révélé nécessaire d'élaborer des techniques compliquées qui se sont… Lire la suite
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Écrit par :  Paulette LIBERMANN

*L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xviie siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les… Lire la suite
GRAPHES THÉORIE DES

Écrit par :  Hervé RAYNAUD

*On appelle théorie des graphes une classe de problèmes d'apparence hétéroclite, plus ou moins bien résolus, mais qui suscite un engouement à la hauteur de la fascination qu'exercent ses résultats. Claude Berge (1926-2002), dans son discours inaugural des Journées internationales d'études de la théorie des… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Généralités

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

Écrit par :  Everett DADE

*Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

Écrit par :  Everett DADE

*Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un… Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et la géométrie… Lire la suite
INFORMATIQUE ET VÉRITÉ MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

*« Tel nombre est premier », « tels graphes sont isomorphes », « telle classification est complète », etc. Traditionnellement, en mathématiques, la certitude concernant de telles affirmations formelles ne peut résulter que d'une démonstration. La pratique, cependant, semble remettre en question certaines… Lire la suite
INTÉGRALES ÉQUATIONS

Écrit par :  Michel HERVÉ Universalis

*Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique, chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixe siècle, avec les travaux de H. A. … Lire la suite
INTÉGRATION ET MESURE

Écrit par :  André REVUZ

*La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y… Lire la suite
INVARIANT, mathématique

Écrit par :  Nicole BERLINE

… *À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax2 + 2bxy + cy2 + 2ux + 2vy + w = 0. Comment… Lire la suite
ITÉRATION, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE Universalis

… *Itérer signifie recommencer, faire à nouveau. Construire les nombres entiers peut être vu comme l'opération consistant à partir de zéro à itérer indéfiniment l'ajout d'une unité. Plus généralement, en mathématiques, lorsqu'une fonction ou opération est disponible, il est fréquent d'en envisager l'itération, celle-ci conduisant soit à de nouvelles… Lire la suite
JEUX THÉORIE DES

Écrit par :  Bernard GUERRIEN

… elles peuvent se prêter au traitement mathématique –  calcul d'extremums, approche probabiliste. *La théorie des jeux est de ce fait parfois présentée comme une « branche des mathématiques » ; il est vrai que des mathématiciens (Émile Borel et John von Neumann, qui se situaient dans une tradition remontant au moins à Pascal et Bernoulli) sont à… Lire la suite
LIMITE (mathématique)

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

… *La notion mathématique de limite a été introduite en 1735 par le mathématicien anglais Benjamin Robins comme ce vers quoi tendent, sans jamais l'atteindre, certains rapports de quantités variables. Précisée en 1800 par le mathématicien et physicien allemand Carl Friedrich Gauss pour les suites de nombres réels, puis en 1823 par le mathématicien… Lire la suite
LINÉAIRE ALGÈBRE

Écrit par :  Lucien CHAMBADALJean-Louis OVAERT

*L'algèbre linéaire sur un corps commutatif, telle qu'on la trouvera présentée ici, s'est progressivement dégagée, au cours du xixe siècle et au début du xxe, de la théorie des équations linéaires (systèmes de n équations linéaires à pLire la suite
LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Daniel ANDLERRoger MARTIN

*La logique au sens étroit du terme, c'est-à-dire la logique formelle par opposition à l'épistémologie ou à la théorie de la connaissance, se propose de donner une théorie de l'inférence formellement valide. Elle considère comme valide toute inférence telle qu'un individu sensé et… Lire la suite
MATHÉMATIQUE ÉCOLE ÉCONOMIQUE

Écrit par :  François ETNER

… De toutes les sciences sociales, l'économie est, de beaucoup, la* plus mathématisée : dans les revues économiques qui comptent, les articles sont écrits dans le langage des mathématiques ; les économistes distingués chaque année par le prix Nobel d'économie sont le plus souvent des économistes mathématiciens. Pourtant, l'école mathématique revient… Lire la suite
MATHÉMATIQUE ÉPISTÉMOLOGIE DE LA

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

…  science ? ». Elle ne prétend pas travailler à la constitution d'une « conscience » de la science. *Mais, en mathématique comme ailleurs, cette restriction préliminaire ne suffit pas à définir ce qu'elle doit être, quelle est sa tâche, comment elle peut prétendre accompagner la science de façon intéressante. À quoi sert l'épistémologie ? C'est sans… Lire la suite
MATHÉMATIQUES (DIDACTIQUE DES)

Écrit par :  Régine DOUADY

*Les problèmes posés par l'enseignement des mathématiques ne sont pas nouveaux. Au début du siècle, Henri Lebesgue était préoccupé par les conditions de l'enseignement et de la formation des professeurs. Des efforts plus récents se sont déployés dans tous les pays. Depuis les années 1960-1970, des institutions… Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

*Au sens premier et fort, le mot « fondement » désigne la base, jugée inébranlable, sur laquelle repose un corps d'énoncés, un système de connaissances, un complexe de croyances ou de conduites. « Reposer sur la base » signifie ici « trouver en elle à la fois son origine et sa raison ». Point fixe à… Lire la suite
MESURE, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *Mesurer les objets concrets mathématisables fut l'un des premiers actes scientifiques conscients : il est d'usage de citer la redistribution, à des fins fiscales, des terres émergées après une crue du Nil, dans l'Égypte antique. Le premier niveau consiste à calculer des longueurs, d'abord d'intervalles de droites, puis de courbes comme le… Lire la suite
MODÉLISATION, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

… *La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations… Lire la suite
NOMBRES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

… *L'idée intuitive de nombre doit remonter à l'émergence même de la pensée et il est impossible de savoir quel hominidé, et quand, a commencé à compter (ses doigts, les personnes de son groupe, des animaux, les jours...), ou au moins à distinguer un de deux ou de plusieurs. Les nombres interviennent dans la plupart des activités humaines, des… Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*Introduits à l'origine comme symboles purement formels destinés à rendre compte des propriétés des équations algébriques, les nombres imaginaires sont d'un usage courant au xviiie siècle, mais ce n'est qu'au siècle suivant qu'ils seront définis et utilisés correctement, avec la rigueur… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

*On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par :  Christian HOUZEL

*Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement… Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOTRené SPECTOR

*Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A.… Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Écrit par :  Robert ROLLANDJean-Luc VERLEY

*L'analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s'est créée au début du xxe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862-1943) est amené à étudier des développements en séries de fonctions… Lire la suite
NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

*Pour connaître une langue naturelle, il n'est pas nécessaire d'en apprendre l'histoire ni, pour comprendre sa littérature, de faire l'étude historique de la grammaire et du vocabulaire. À cet égard, le langage mathématique, en raison de son caractère plutôt artificiel, se présente bien différemment. Alors… Lire la suite
NUMÉRATION

Écrit par :  Josette ADDA

*Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un… Lire la suite
NUMÉRIQUE ANALYSE

Écrit par :  Jean-Louis OVAERTJean-Luc VERLEY

*Les problèmes et les méthodes numériques ne délimitent pas un secteur spécifique des mathématiques ; ils interviennent en effet non seulement dans les domaines traditionnels (analyse classique et équations fonctionnelles), mais aussi en algèbre, en théorie des nombres, etc. La spécificité… Lire la suite
OBJET MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

… *Le but des mathématiques est de démontrer des résultats non triviaux sur ce qu'on peut appeler globalement des objets mathématiques. Il en existe de nombreux types : nombres entiers, nombres réels, points, droites ou courbes de la géométrie, suites, séries et fonctions de l'analyse, ensembles divers, ensembles d'ensembles, etc. Les objets… Lire la suite
OBJET UNIVERSEL, mathématique

Écrit par :  Patrick DEHORNOY

… *Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d… Lire la suite
OPÉRATION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… *Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A, il existe un b et un seul… Lire la suite
PHYSIQUE - Les fondements et les méthodes

Écrit par :  Roland OMNÈS

Dans le chapitre "Une science exacte"  : …  peut être énoncée de la manière suivante : les phénomènes naturels obéissent à des lois fixes. Plus* précisément, il apparaît que la réalité peut être décrite, et ses processus prédits à l'aide de représentations mathématiques. De telles représentations sont constituées par un objet mathématique plus ou moins complexe qui est mis en… Lire la suite
PHYSIQUE - Physique et mathématique

Écrit par :  Jean-Marc LÉVY-LEBLOND

*L'existence d'une relation particulière entre la physique et les mathématiques est universellement reconnue. Les témoignages explicites en abondent à travers toute l'histoire de la physique, à commencer par la célèbre assertion de Galilée : « La philosophie est écrite dans ce livre immense… Lire la suite
POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

*La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriquesalgèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction… Lire la suite
POTENTIEL THÉORIE DU

Écrit par :  Arnaud de la PRADELLE

*La théorie du potentiel, directement issue de l'électrostatique, est une source d'inspiration extrêmement riche en analyse. Si, au début du xixe siècle, on connaissait déjà l'équation de Laplace, la fonction de Green et l'intégrale de Poisson dans la boule, ce n'est vraiment qu'… Lire la suite
PROBABILITÉS CALCUL DES

Écrit par :  Daniel DUGUÉ

*Le calcul des probabilités est certainement l'une des branches les plus récentes des mathématiques, bien qu'il ait en fait trois siècles et demi d'existence. Après s'être cantonné dans l'étude des jeux de hasard, il s'est introduit dans presque toutes les branches de l'activité scientifique, aussi bien dans l'… Lire la suite
QUADRATIQUES FORMES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse… Lire la suite
RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

*Par les différents adjectifs généralement accolés au substantif commun qu'est le nombre, la langue mathématique familière surprend et inquiète, car elle risque de susciter des confusions : nombres rationnels (d'autres nombres seraient donc sans raison ?), nombres réels (des nombres doués d'existence propre… Lire la suite
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS

Écrit par :  Lucien CHAMBADAL

*La notion de limite d'une suite est à la base de l'analyse. Le langage des séries, équivalent à celui des suites, s'est imposé dès le xviie siècle à propos du développement des fonctions en série entière. Cependant, les fondements rigoureux de la théorie des séries, reposant sur une… Lire la suite
SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Écrit par :  Alain CHENCINER

*De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de… Lire la suite
STATISTIQUE

Écrit par :  Georges MORLAT

*Le mot « statistique » désigne à la fois un ensemble de données d'observation et l'activité qui consiste dans leur recueil, leur traitement et leur interprétation. Au cours de l'histoire, la collecte d'observations et la méthodologie de leur emploi se sont développées de façons largement indépendantes.… Lire la suite
SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Alain CHENCINER

*Sans doute née avec le mémoire que Poincaré écrivit en 1881 « sur les courbes définies par des équations différentielles », où l'étude quantitative (analytique) locale des équations différentielles dans le champ complexe est remplacée par leur étude qualitative (géométrique) globale dans le champ réel, la… Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie générale

Écrit par :  Claude MORLET

*Les notions de continuité et de limite ont une origine intuitive et l'on se propose d'analyser ici cette intuition. Considérons, par exemple, la description de la tangente T à une courbe telle qu'on la trouve dans les manuels classiques de géométrie élémentaire : Si M varie sur Γ, la corde M0M… Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie algébrique

Écrit par :  Claude MORLET

*Inventée au début du xxe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l'introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l'exposé, on a décomposé cet article en deux parties. Dans la… Lire la suite
TRANSCENDANTS NOMBRES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

*Si la notion de nombre irrationnel remonte aux Grecs, l'idée de nombre transcendant n'a pu se dégager qu'après la création de notations algébriques assez développées pour que le concept de polynôme de degré quelconque puisse être clairement formulé ; aussi est-ce seulement au xviie siècle… Lire la suite
VARIATIONS CALCUL DES

Écrit par :  Claude GODBILLON

*L'étude d'une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C'est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique ; c'est l'objet de ce qu'Euler a appelé le calcul des variations lorsque cette… Lire la suite
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Écrit par :  Claude MORLET

*On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B. Riemann. C'est en effet Riemann qui proposa d'appliquer à l'étude des ensembles d'objets non géométriques les méthodes qui avaient été inventées pour les courbes et les surfaces. Cette… Lire la suite

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Dictionnaire

Définition du mot "MATHEMATIQUE"

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