ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES

Articles

• ANALYSE NON STANDARD

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 1 411 mots

  Au milieu du xx^e siècle, le mathématicien et logicien Abraham Robinson (1918-1974) est parvenu à refonder la notion d'infinitésimale –  de grandeur infiniment petite – dont Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) étaient supposés avoir délivré la communauté mathématique...

• CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
  • 2 886 mots
  • 1 média

  Georg Cantor est le mathématicien de génie qui a ouvert pour les mathématiques le paradis de l’infini. Il a développé la théorie des ensembles qui permet de traiter tout objet mathématique comme un ensemble d’éléments déterminé, fini ou infini, et a introduit le concept de transfini, qui...

• COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 154 mots

  Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...

• CONSTRUCTION, mathématique

  • Écrit par André WARUSFEL
  • 1 391 mots

  Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xix^e siècle et surtout le début du xx^e, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

• CONTINU HYPOTHÈSE DU

  • Écrit par Patrick DEHORNOY
  • 2 220 mots

  L'hypothèse du continu est la plus ancienne et l'une des plus fondamentales des questions ouvertes en théorie des ensembles. Les résultats de W. Hugh Woodin constituent une avancée décisive : sans clore la question, ils renouvellent profondément le cadre conceptuel et, pour la première fois, offrent...

• CONTINU & DISCRET

  • Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
  • 7 672 mots
  ...l'infini continu et de la possibilité de déterminer correctement sa place dans l'échelle transfinie. Les structures logiques investies dans la théorie des ensembles axiomatisée qui a valeur de référence (à savoir ZF) ne suffisent pas à lever les indéterminations en la matière. Si bien que l'on comprend les...

• DISSECTIONS GÉOMÉTRIQUES

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 3 363 mots
  • 10 médias
  On sait que l'axiome du choix fut l'objet d'âpres discussions lors de la mise au point de la théorie des ensembles et de son adoption par les mathématiciens du début du xx^e siècle. Rappelons que l'axiome du choix affirme que, si E est un ensemble non vide d'ensembles non vides, alors...

• FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

  • Écrit par Jean-Paul DELAHAYE
  • 870 mots

  Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique...

• FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 242 mots

  Mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles. Né le 17 évrier 1891 à Munich (Allemagne), Adolf Abraham Halevi Fraenkel fait ses études supérieures dans différentes universités, à Munich, Marburg, Berlin puis Breslau. Ses premiers travaux concernent les nombres p-adiques...

• FREGE GOTTLOB (1848-1925)

  • Écrit par Claude IMBERT
  • 3 259 mots
  ...obstacles auxquels se heurtait la tentative frégéenne eurent pour conséquence la séparation de la logique (calcul pur des prédicats) et de la théorie des ensembles. Celle-ci requiert une langue enrichie de deux constantes de prédicat, l'égalité et l' appartenance. Le sens de ce dernier prédicat binaire est...

• GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par Daniel ANDLER
  • 2 292 mots
  C'est en théorie des ensembles, à l'axiomatisation de laquelle il contribua, que Gödel fit sa troisième grande découverte, en apportant à une célèbre question de Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier résultat de non-contradiction relative...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  La première tâche a consisté à préciser une axiomatique pour la théorie des ensembles : ce sera l'œuvre de Zermelo, à partir de 1908, de Bernays, de von Neumann, de Gödel, de Frankel dans les années 1920-1930. Zermelo énonce en particulier l'axiome du choix, qui a pour conséquence que tout ensemble...

• LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par Jean LOUVEAUX
  • 849 mots

  Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne...

• MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

  • Écrit par Jean Toussaint DESANTI
  • 10 434 mots
  • 1 média
  ...dégager un objet fondamental, le concept d'ensemble abstrait, qui deviendra, jusqu'à sa mort, le thème essentiel de ses recherches. Or la théorie des ensembles (bien que la chose ne soit pas apparue clairement aux yeux des contemporains) s'articulait fortement sur les concepts élaborés par Frege. En...

• MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH
  • 7 801 mots
  ...qui a fait l'objet de discussions philosophiques qu'on ne peut rappeler ici. Il en est de même du « paradoxe de Skolem » : si la théorie axiomatique des ensembles ZF admet un modèle, elle admet un modèle dénombrable, lequel « contient » des ensembles non dénombrables tels que l'ensemble p...

• NEUMANN JOHN VON (1903-1957)

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 1 803 mots
  • 1 média
  Une série d'articles, échelonnés de 1925 à 1929, est consacrée à l'axiomatisation de la théorie des ensembles. Dans Die Axiomatisierung der Mengenlehre (1928), von Neumann propose une axiomatisation remarquablement concise et simple de la théorie naïve qui repose sur la notion d'objet de premier...

• NOMBRES

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 1 762 mots
  Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres, comme une construction abstraite, les nombres étant eux-mêmes des ensembles particuliers.

• SKOLEM ALBERT THORALF (1887-1963)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 439 mots

  Logicien et mathématicien norvégien né à Sandsvaer et mort à Oslo. Ses travaux en algèbre (théorème de Skolem-Noether pour les algèbres associatives) et en théorie des nombres (introduction des méthodes p-adiques dans la théorie des équations diophantiennes), qui lui vaudraient,...

• ZERMELO ERNST (1871-1953)

  • Écrit par Gabriel SABBAGH
  • 187 mots

  Mathématicien et logicien allemand, né à Berlin et mort à Fribourg-en-Brisgau, fondateur de la théorie axiomatique des ensembles. En 1904, Ernst Zermelo explicite l'axiome du choix et en déduit que tout ensemble peut être bien ordonné, résultat déjà conjecturé par Moritz Cantor et permettant...