Logique mathématique

Articles

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

Écrit par :  Gabriel SABBAGH

La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens).  ...  Lire la suite

DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA

Écrit par :  Jean-Yves GIRARD

La théorie de la démonstration est la logique de la logique. En contraste avec d'autres sous-domaines tels que la théorie des modèles, les grandes questions qui ont tant passionné nos pères ont laissé une trace vivace dans cette discipline, qui s'occupe essentiellement (c'est là la définition technique de la théorie de la démonstration) de l'aspec ...  Lire la suite

IDÉALISME

Écrit par :  Jean LARGEAULT

Dans le chapitre La logique et l'idéalismeIl est probable que l'idéalisme se sépare du réalisme en accordant au la primauté sur le concept. Ce sont les concepts qui ont d'abord la charge de l'import ontologique. Admettre que le jugement définit des concepts, ou que les concepts dérivent des jugements, équivaut à définir les concepts au moyen des relations ; alors ils dépendent directement ...  Lire la suite

LES LOIS DE LA PENSÉE (G. Boole)

Écrit par :  Bernard PIRE

Le mathématicien britannique Georges Boole (1815-1864) est le fondateur de la logique symbolique moderne. Autodidacte sans aucun titre universitaire, il soutient que la logique doit être rattachée aux mathématiques et non à la philosophie. En 1854, il publie l'exposé abouti de ses idées dans un traité dont le titre complet est significatif : U ...  Lire la suite

LOGIQUE

Écrit par :  Robert BLANCHÉ, Jan SEBESTIK

Dans le chapitre La logique symbolique moderneL'année 1847, où paraît la Mathematical Analysis of Logic de, marque le départ d'une nouvelle forme de logique, une logique qui, à la fois symbolique et mathématique, réalise enfin le double rêve de Leibniz. Se fondant sur certaines analogies entre les opérations fondamentales de la logique et des mathématiques, Boole t ...  Lire la suite

LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Daniel ANDLER, Roger MARTIN

La logique au sens étroit du terme, c'est-à-dire la logique formelle par opposition à l'épistémologie ou à la théorie de la connaissance, se propose de donner une théorie de l'inférence formellement valide. Elle considère comme valide toute inférence telle qu'un individu sensé et suffisamment exercé se sente contraint de tenir sa conclusi ...  Lire la suite

MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre La logique mathématique contemporaineOn trouvera ailleurs (cf. cantor, frege, ) l'exposé des travaux de Frege et de Cantor, que nous ne pourrions ici qu'évoquer de la manière la plus insignifiante. Nous nous contenterons de quelques remarques de caractère épistémologique. Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte mathématique. L'analyse y ...  Lire la suite

MODÈLES THÉORIE DES

Écrit par :  Daniel ANDLER, Daniel LASCAR, Gabriel SABBAGH

« Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira e ...  Lire la suite

MODÉLISATION, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations ...  Lire la suite

NOTATION MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Hans FREUDENTHAL

Dans le chapitre La logique symboliqueDepuis Leibniz, on a avancé divers systèmes de notations pour la logique symbolique. Il faut mentionner les tentatives de Boole (1847), E. Schröder (1877), G. Frege (1879, 1893), (1891, et son Formulaire de mathématique à partir de 1895), Russell et Whitehead (1910) ; tous ces systèmes incluent les notations ensemblistes. Il y a un manque ...  Lire la suite

PROPOSITIONNEL CALCUL

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

Logique des propositions inanalysées, reliées par des connecteurs propositionnels (non ; et ; ou ; si..., alors...), qui sont des foncteurs de vérité ; ce qui signifie que la valeur de vérité du composé est directement et mécaniquement fonction (d'après les définitions de la négation, de la conjonction, de la disjonction et de l'implication) des v ...  Lire la suite

QUANTIFICATION, logique

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

Notion usitée en logique des prédicats. On peut, avec W. V. O. Quine, diviser en trois la logique contemporaine : 1. La théorie des fonctions de vérité a pour objet les structures logiques engendrées en construisant des propositions composées à partir de propositions simples, à l'aide des particules « et », « ou », « non », « si..., alors ...  Lire la suite

RÉCURSIVITÉ, logique mathématique

Écrit par :  Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE

Les (semi-) fonctions récursives ont été introduites pour donner un équivalent mathématique à la notion métamathématique intuitive de (semi-) fonction effectivement ou mécaniquement calculable (cf. logique mathématique, chap. 4). Par souci de simplicité, nous considérons ici le cas des fonctions des entiers dans les entiers, bien que l'on ...  Lire la suite

RELATION

Écrit par :  Jean LADRIÈRE

Dans le chapitre La méthode axiomatiqueLa méthode permet d'aborder le problème de la nature de la relation par un tout autre biais. Elle consiste à donner une caractérisation implicite de la notion en énonçant certaines propositions dans lesquelles elle figure ; le contenu de la notion est alors déterminé par les possibilités déductives contenues dans ces propositions (c'est-à-dire qu' ...  Lire la suite

TURING MACHINE DE

Écrit par :  Bernard PIRE

Dans l'article « On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem », publié en 1936 dans les Proceedings of the Mathematical Society, Alan Mathison Turing (1912-1954) montre qu'il existe des nombres définissables qui ne sont pas calculables. Cela implique qu'il n'existe pas de solution au célèbre problème de la décis ...  Lire la suite

VALIDITÉ, logique

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

Propriété de l'inférence qui la qualifie quant à sa fonction essentielle. L'inférence consiste à passer de propositions vraies assertées comme prémisses à une proposition vraie assertée comme conclusion. Si l'inférence est telle que, si je suis assuré de la vérité des prémisses, alors je le suis également de la vérité de la conclusion, l'inférence ...  Lire la suite

VÉRITÉ VALEUR DE

Écrit par :  Françoise ARMENGAUD

Expression exclusivement technique, usitée en logique moderne. Les valeurs de vérité sont au nombre de deux : le vrai et le faux. Elles sont assignées aux propositions atomiques (de manière analogue à l'assignation de valeurs numériques aux expressions algébriques). La valeur de vérité des propositions composées ou moléculaires est directement fon ...  Lire la suite