POLYNÔMES

Articles

• POLYNÔMES

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 2 265 mots

  La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xix^e siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle...

• ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  • 29 463 mots
  Soit A = (E, l_⊤, l_⊥) un anneau unifère ; appelons A_1 ind-polynÃ́me, ou A-polynÃ́me à une indéterminée (on dit habituellement polynÃ́me à une indéterminée à éléments dans E, souvent en confondant E et A par abus de langage) toute suite (E, l_⊤)-presque nulle d'éléments...

• ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par Jean-Luc VERLEY
  • 6 217 mots
  • 1 média
  b) Un autre exemple important d'anneau principal est l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K. La démonstration repose ici encore sur l'existence dans cet anneau d'une division « euclidienne » : si A et B sont des polynômes, il existe un couple et un seul de polynômes Q...

• CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 5 442 mots
  ...différentiels à coefficients complexes opérant sur des fonctions de deux variables est un anneau (pour l'addition et la composition), isomorphe à l'anneau des polynômes C [X,Y] à deux indéterminées X et Y. » (Par exemple, à l'opérateur cité ci-dessus correspond le polynôme AX + BY² − CXY².) L'isomorphisme...

• CORPS, mathématiques

  • Écrit par Encyclopædia Universalis et Robert GERGONDEY
  • 6 190 mots
  ...donne la description suivante : Soit x un nombre complexe algébrique, c'est-à-dire une racine d'une équation P(X) = 0, où P(X) est un polynôme à coefficients entiers, de degré n irréductible sur le corps Q ; alors l'ensemble Q(x) des nombres complexes de la forme :

  

  où les ...

• COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par Luc GAUTHIER
  • 4 255 mots
  • 8 médias

  En fondant la géométrie analytique, Descartes avait substitué au plan de la géométrie d'Euclide l'ensemble R² des couples de nombres réels et, de ce fait, à la notion de courbe, celle d'équation. La construction d'un point, puis la détermination d'un lieu géométrique se trouvaient ainsi...

• ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par Gilles LACHAUD
  • 1 423 mots
  Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature...

• FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
  • 18 453 mots
  • 6 médias
  ...séries entières ne suffisent pas pour représenter des fonctions suffisamment générales (continues, de classe C^k), il convient de considérer des séries de polynômes. D'après le théorème de Weierstrass (1886), toute fonction continue sur un intervalle compact est développable en série uniformément...

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN , Jean-Michel KANTOR et Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  ...de tous les invariants et avaient constaté, dans les quelques cas particuliers où le calcul pouvait être mené à bout, que tous les invariants sont des polynômes d'un nombre fini d'entre eux, mais ils ne savaient pas montrer ce résultat a priori dans tous les cas. En un temps très court, Hilbert...

• INVARIANT, mathématique

  • Écrit par Nicole BERLINE
  • 1 735 mots

  À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax² + 2bxy + cy² + 2ux + 2vy + w = 0. Comment reconnaître...

• ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par Georges C. ANAWATI , Encyclopædia Universalis et Roshdi RASHED
  • 22 273 mots
  • 1 média
  ...al-Samaw'al donne la règle équivalente à x^mxⁿ = x^m+n, m, n ∈ Z. Vient ensuite l'étude des opérations arithmétiques sur les monômes et les polynômes, notamment celle de la divisibilité des polynômes, ainsi que de l'approximation des fractions par les éléments de l'anneau des polynômes. On...

• McMULLEN CURTIS (1958- )

  • Écrit par Bernard PIRE
  • 283 mots

  Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1998 pour ses travaux dans l'étude des systèmes dynamiques et en géométrie. Né le 21 mai 1958 à Berkeley (Californie), Curtis McMullen fait ses études supérieures au Williams College de Williamstown, mais aussi à Cambridge (Grande-Bretagne)...

• NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par Christian HOUZEL
  • 12 998 mots
  ...un idéal b ≠ (0) tel que ab soit principal. On peut construire b en associant, à un système de générateurs α₁, α₂, ..., α_r de a, le polynôme g(x) = α₁x + α₂x² + ... α_rx^r et ses conjugués g_i(x) = α₁⁽ⁱ⁾x + ... + α_r⁽ⁱ⁾x^r ; le produit F = g₁g₂ ... ...

• SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

  • Écrit par Alain CHENCINER
  • 9 832 mots
  • 19 médias
  De même que ci-dessus (cas n = 2), on s'est ramené à une division par z = x − ϕ(u), on peut ramener (D) à une identité de division par le polynôme générique :

  

  où les λ_i sont considérés comme des paramètres, soit :

  

• TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894)

  • Écrit par Georges GLAESER
  • 1 307 mots
  • 1 média
  Ces recherches pratiques inspirent à Tchebychev l'étude de l'approximation des fonctions continues par des polynômes. Indépendamment de Weierstrass, il démontre la possibilité d'approcher toute fonction continue f, uniformément sur un intervalle compact[a, b], par une suite de polynômes de...