SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Médias de l’article

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Jets d'une fonction quadratique d'une variable
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Caractère universel d'une famille transverse

Caractère universel d'une famille transverse
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Stabilité d'une famille transverse

Stabilité d'une famille transverse
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Construction de l'application DA(e)

Construction de l'application DA(e)
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Tous les médias


De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace analytique n'est pas lisse, des points où un champ de vecteurs s'annule, on est confronté à une situation dont la géométrie ne se laisse pas découvrir par une simple application du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, chap. 2 et 3).

Issue des travaux pionniers de Marston Morse, de Hassler Whitney et de René Thom, la théorie des singularités des applications différentiables cherche à répondre aux questions suivantes :

– Peut-on décrire les singularités des éléments d'une famille à l paramètres « suffisamment générale » d'applications indéfiniment différentiables d'une variété N dans une variété P ?

– Peut-on décrire de quelle façon ces singularités se transforment les unes dans les autres dans une telle famille lorsque les paramètres varient ?

Nous envisagerons surtout le cas des fonctions f à valeurs réelles définies sur une variété compacte N : généralisant une partie de la théorie de Morse, les résultats décrits ci-dessous sont à la base de la théorie des catastrophes élémentaires de René Thom.

Les trois premiers chapitres du présent article répondent à la première question pour l = 0 (pas de paramètres) en montrant que, par une perturbation arbitrairement petite, toute fonction peut être déformée en une fonction dont tous les points singuliers sont non dégénérés (fonctions de Morse).

Le chapitre 4 montre que, par une perturbation arbitrairement petite, toute famille à l paramètres de fonctions (l fini) peut être déformée en une famille de fonctions de « type singulier fini » (T.S.F.) : une telle [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 15 pages




Écrit par :

Classification


Autres références

«  SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications  » est également traité dans :

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 5 618 mots

Dans le chapitre « Classification des singularités »  : […] En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe C m en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe C m à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-calcul-a-plusieurs-variables/#i_26093

CATASTROPHES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Jean PETITOT
  •  • 5 119 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Le théorème de Whitney »  : […] Il s'agit là d'une propriété générale. Le grand théorème de Whitney dit en effet que, si l'on considère une application différentiable du plan sur le plan qui soit structurellement stable, les deux seules situations locales non triviales qui peuvent intervenir sont celles du pli et du cusp. Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est u […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-catastrophes/#i_26093

Voir aussi

Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/