SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

De la topologie différentielle à la dynamique qualitative, en passant par la géométrie analytique et la topologie algébrique, les « singularités » ont bien des incarnations en mathématiques ; mais cela n'exclut pas une certaine unité : qu'il s'agisse des points où la dérivée d'une application n'est pas de rang maximal, des points où un espace analytique n'est pas lisse, des points où un champ de vecteurs s'annule, on est confronté à une situation dont la géométrie ne se laisse pas découvrir par une simple application du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, chap. 2 et 3).

Issue des travaux pionniers de Marston Morse, de Hassler Whitney et de René Thom, la théorie des singularités des applications différentiables cherche à répondre aux questions suivantes :

– Peut-on décrire les singularités des éléments d'une famille à l paramètres « suffisamment générale » d'applications indéfiniment différentiables d'une variété N dans une variété P ?

– Peut-on décrire de quelle façon ces singularités se transforment les unes dans les autres dans une telle famille lorsque les paramètres varient ?

Nous envisagerons surtout le cas des fonctions f à valeurs réelles définies sur une variété compacte N : généralisant une partie de la théorie de Morse, les résultats décrits ci-dessous sont à la base de la théorie des catastrophes élémentaires de René Thom.

Les trois premiers chapitres du présent article répondent à la première question pour l = 0 (pas de paramètres) en montrant que, par une perturbation arbitrairement petite, toute fonction peut être déformée en une fonction dont tous les points singuliers sont non dégénérés (fonctions de Morse).

Le chapitre 4 montre que, par une perturbation arbitrairement petite, toute famille à l paramètres de fonctions (l fini) peut être déformée en une famille de fonctions de « type singulier fini » (T.S.F.) : une telle fonction a un nombre fini de points singuliers au voisinage de chacun desquels elle s'écrit comme un polynôme dans des coordonnées locales bien choisies ; c'est précisément de ce caractère localement algébrique que vient la possibilité de faire de la géométrie (après complexification, ainsi qu'on l'esquisse au chapitre 9).

Les chapitres 5, 6 et 7 décrivent la théorie du déploiement universel qui permet, après stratification, de répondre à la deuxième question.

Au chapitre 8, on contemple la zoologie des petites codimensions (catastrophes).

Enfin, les chapitres 9 et 10 ébauchent des liens avec d'autres domaines et des généralisations.

Cet article est en connexion étroite avec les articles calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables, topologie -Topologie différentielle et variétés différentiables.

Points réguliers

Parler de la forme des hypersurfaces de niveau d'une fonction différentiable peut sembler voué à l'échec en fonction du théorème suivant, dû à Hassler Whitney : Étant donné un fermé F de Rⁿ, il existe une fonction f : Rⁿ → R de classe C^∞ telle que f ⁻¹(0) = F ; le caractère C^∞ de f n'est pas, dans cet énoncé, une restriction plus forte que la simple continuité.

La dérivabilité intervient par contre de façon essentielle dans le lemme de Sard qui, étant donné une application f : Rⁿ → R^p, p ≤ n, assure que l'image f (Σ(f )) de l'ensemble Σ(f ) des points singuliers (on dit aussi critiques) de f (points où la dérivée de f n'est pas de rang p) est de mesure de Lebesgue nulle dès que f est de classe C^r, avec r ≥ n − p + 1. Si n < p, il est facile de voir que la conclusion vaut pour f (Rⁿ) dès que f est de classe C¹. Ce lemme est le seul théorème de structure global applicable à toute fonction C[...]