WEIL ANDRÉ (1906-1998)

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres.

Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un théorème de finitude obtenu peu auparavant par L. Mordell pour les courbes de genre 1, théorème qui permit peu après à C. L. Siegel de démontrer son théorème général de finitude du nombre de solutions entières d'une équation diophantienne à deux variables.

Mathématicien universel, A. Weil a cependant toujours marqué sa prédilection pour la théorie des nombres et la géométrie algébrique. Après sa thèse, son œuvre la plus importante dans ce domaine est la démonstration de ce qu'on avait appelé l'« hypothèse de Riemann pour les courbes algébriques sur un corps fini », donnant la meilleure majoration possible du nombre de solutions d'une équation polynomiale à 2 variables sur un corps fini Fq en fonction de q et du genre de la courbe donnée par cette équation. Pour parvenir à ce résultat, Weil dut, tout d'abord, dans un ouvrage de base intitulé Foundations of Algebraic Geometry (1946), développer toute la géométrie algébrique sur un corps quelconque et, surtout, la théorie des intersections, puis appliquer cette théorie générale à l'étude des courbes algébriques et à celle des variétés abéliennes (sur un corps quelconque), cette dernière étant créée de toutes pièces par lui. En cherchant à étendre ses résultats sur l'« hypothèse de Riemann » aux équations polynomiales à un nombre quelconque de variables, Weil émit une série de remarquables conjectures qui servirent de ferments et de guides précieux dans le développement de la géométrie algébrique des vingt années suivantes, et qui ont finalement été démontrées, de 1963 à 1973, grâce aux efforts conjugués de A. Grothendieck, M. Artin et P. Deligne.

Les travaux de Weil en théorie des nombres portent aussi sur l'introduction de nouvelles notions en théorie du corps de classes (les groupes de Weil), le développement de la théorie de la multiplication complexe (avec Shimura et Taniyama) et les relations entre la théorie arithmétique des courbes elliptiques et celle des fonctions modulaires. Par ailleurs, en 1940, il avait participé, avec Pontrjagin et Gelfand, à la création de l'analyse harmonique commutative générale, publiant un ouvrage célèbre intitulé L'Intégration dans les groupes topologiques et ses applications, qui resta le livre de base de l'analyse harmonique durant de longues années. À partir de 1950, il montra d'une part que l'analyse harmonique est à la base de la théorie classique des variétés abéliennes sur le corps des nombres complexes et des fonctions thêta ; d'autre part, en appliquant l'analyse harmonique aux groupes d'idèles et d'adèles, dans son livre classique Basic Number Theory, il a montré (avec Tate) qu'elle comprend comme champ d'application particulier toute la théorie classique des nombres algébriques, y compris celle du corps de classes abélien. Avec Tamagawa, il a inauguré l'étude des groupes classiques « adélisés » et montré que cette étude comprend et généralise les résultats de Siegel sur les formes quadratiques à coefficients entiers, et que des connaissances plus précises sur l'analyse harmonique de ces groupes donneraient sans doute la clé de la théorie encore conjecturale du corps de classes non abélien.

Dans d'autres domaines, A. Weil a introduit, entre autres, la notion d'espace uniforme en topologie, développé la théorie de la cohomologie des espaces homogènes (à l'aide de ce qu'on appelle l'« algèbre de Weil ») en collaboration avec Chevalley, Koszul et H. Cartan et, enfin, établi par voie cohomologique la « rigidité » des sous-groupes discrets des groupes de Lie semi-simples.

Il a enseigné aux universités de Strasbourg, de Chicago et de São Paulo, et a été membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1958. L'influence considérable qu'il a exercée sur les mathématiques du xxe siècle est due non seulement à son enseigne [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 2 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  WEIL ANDRÉ (1906-1998)  » est également traité dans :

BOURBAKI NICOLAS (XXe s.)

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU
  •  • 1 734 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Unité de la mathématique »  : […] La première originalité de Bourbaki, et qui est sans doute dans une large mesure la raison de son succès, est dans sa constitution polycéphale. Ce nom recouvre en effet une libre association de mathématiciens, presque tous français, qui ont accepté de travailler ensemble à la composition des « éléments ». On y entre par cooptation, mais on en sort librement, et, en principe, automatiquement dès qu […] Lire la suite

DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, 
  • Marcel DAVID, 
  • Universalis
  •  • 6 375 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Surfaces analogues aux courbes de genre 1 »  : […] L'analogue immédiat, du point de vue de la géométrie algébrique, consiste en les surfaces abéliennes (pour lesquelles il est difficile de donner des équations !). Le théorème de A.  Weil (1928) nous renseigne sur les points rationnels, mais on ignore s'il n'y a qu'un nombre fini de points entiers. Un autre analogue consiste en les surfaces non singulières de l'espace ordinaire, de degré 4. Une con […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
  •  • 8 734 mots

Dans le chapitre « Représentations intégrales »  : […] Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert Ω de C n contenant un produit U 1  × U 2  ×  ... × U n d'ouverts de C de frontières régulières orientées γ 1 , γ 2 , ..., γ n , alors, pour tout z  = ( z 1 , z 2 , ..., z n ), z k  ∈ U k , pour k  = 1, 2, ..., n , on a la représentation intégrale de Cauchy  : malheureusement, la fonction f est exprimée à partir de ses valeurs sur l'ensemble prod […] Lire la suite

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 856 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Les nombres premiers (problèmes 8 et 9) »  : […] C'est sans doute l'une des plus célèbres conjectures mathématiques que celle de Riemann sur les zéros de la fonction ζ. Rappelons qu'on a par définition : qui définit une fonction méromorphe dans le plan complexe, avec des zéros simples, dits « triviaux » aux points — 2, — 3, ... Riemann a émis l'hypothèse que tous les autres zéros avaient une partie réelle égale à 1/2. Parmi les très nombreuses a […] Lire la suite

LANGLANDS ROBERT (1936- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 1 087 mots
  •  • 1 média

Le prix Abel 2018 décerné par l’Académie norvégienne des sciences et des lettres, qui depuis 2003 récompense un mathématicien dont les « contributions sont reconnues comme extraordinairement profondes et influentes pour les sciences mathématiques », a couronné le Canadien Robert Phelan Langlands pour son « programme visionnaire reliant la théorie des représentations des groupes à la théorie des […] Lire la suite

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 894 mots

Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e  siècle est un hommage objectif et fort documenté aux réalisations de quelques mathématiciens. Ces dernie […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « Idèles et adèles »  : […] Dans ses recherches sur les formes quadratiques à coefficients dans un corps de nombres algébriques k , en vue d'étendre un résultat de Minkowski, Hilbert avait été conduit à considérer simultanément des congruences modulo les puissances des idéaux premiers du corps, et les équations correspondantes dans R ou dans C , provenant des divers plongements de k  ; il appelait place de k un idéal premi […] Lire la suite

WEIL SIMONE (1909-1943)

  • Écrit par 
  • Sylvie COURTINE-DENAMY, 
  • François HEIDSIECK
  •  • 3 987 mots

Dans le chapitre « Une pensée en action »  : […] La célébration du centenaire de la naissance de Simone Weil a donné lieu à une profusion de publications consacrées à sa vie et à son œuvre. Une œuvre intégralement posthume, à l'exception de quelques articles publiés de son vivant dans des journaux et des revues. De sa vie courte – trente-quatre années – mais si intense, dont son amie Simone Pétrement fut la première à rendre compte, que retenir  […] Lire la suite

WEIL (TROISIÈME CONJECTURE DE)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 344 mots

Après sa thèse soutenue en 1968 à l'Université libre de Bruxelles, le mathématicien belge Pierre Deligne a effectué la première partie de sa carrière à l'Institut des hautes études scientifiques (I.H.E.S.) de Bures-sur-Yvette (Essonne) ; il y travaillait notamment sous la direction du mathématicien Alexandre Grothendieck. C'est là qu'en 1973 il prouve la troisième conjecture de Weil « sur les va […] Lire la suite

ZÊTA FONCTION

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 3 100 mots

Dans le chapitre « Fonctions zêta et fonctions L sur une variété algébrique définie sur un corps fini »  : […] Depuis les travaux de E.  Artin, on sait que tous les résultats de la théorie des nombres algébriques se transportent (avec des expressions plus simples, dues à l'absence des « places infinies ») aux « corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps fini F q  », c'est-à-dire les extensions algébriques finies du corps des fractions rationnelles F q (X). E. Artin lui-même avait noté, sur […] Lire la suite

Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « WEIL ANDRÉ - (1906-1998) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 juillet 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-weil/