KLEIN FELIX (1849-1925)

À travers son « programme d’Erlangen » énoncé en 1872, le mathématicien allemand Felix Klein a apporté une nouvelle définition de la géométrie, englobant notamment la géométrie classique (dite « euclidienne »), la géométrie projective, la géométrie conforme et les géométries « non euclidiennes ».

Né à Düsseldorf le 25 avril 1849, Christian Felix Klein est admis à l’université de Bonn à l’âge de seize ans. S’il a d’abord l’intention de devenir physicien, le hasard le fait s’intéresser à la géométrie des droites, domaine pour lequel il reçoit son doctorat en 1868. Il poursuit ses études à Göttingen, Paris et Berlin, et se lie avec les mathématiciens Camille Jordan et Sophus Lie, qui l’initient à la théorie des groupes. En 1872, à vingt-trois ans, il obtient la chaire de mathématiques de l'université d'Erlangen, où son cours inaugural est l'énoncé de son fameux « programme d'Erlangen », qui marque une rupture fondamentale dans la manière d’envisager la géométrie. Il enseignera ensuite à Munich (1875-1880), à Leipzig (1880-1886) et de nouveau à Göttingen (1886-1913).

Le programme d’Erlangen – que Klein publiera par ailleurs dans son ouvrage GesammeltemathematischeAbhandlungen (1921-1923) – donne une définition de la géométrie englobant aussi bien la géométrie « classique » (c'est-à-dire euclidienne) que la géométrie « projective », les géométries « non euclidiennes », etc., mettant fin aux controverses stériles entre partisans de la géométrie « synthétique » et ceux de la géométrie « analytique ». Pour lui, une géométrie est l'étude des propriétés invariantes par un groupe donné de transformations : ainsi les théorèmes de géométrie classique sont l'expression de relations entre invariants du groupe des similitudes ; et ceux de la géométrie projective celle de relations entre covariants du groupe projectif.

À partir de 1872, il dirige la revue MathematischeAnnalen et fonde, en 1898, la grande Encyklopädie der mathematischenWissenschaften, dont il supervisera la rédaction jusqu'à sa mort, à Göttingen. Il consacre une partie de son énergie au renouveau de l’université de Göttingen et parvient à en faire un centre remarquable en mathématiques. On lui doit aussi d’avoir favorisé l’accès des femmes à la recherche mathématique et son département a été le premier en Allemagne à diriger et attribuer une thèse à une femme, Grace Chisholm Young.

Klein fut le chef incontesté de l'école mathématique allemande, et son influence fut très grande (il donna de nombreuses conférences à l'étranger, dont les États-Unis), notamment sur le développement de la géométrie, grâce à son programme d'Erlangen. On lui doit aussi d'importants travaux sur l'équation différentielle hypergéométrique, sur les fonctions abéliennes, sur le groupe de l'icosaèdre régulier (Lectures on the Icosahedron, 1914), sur les fonctions elliptiques, à partir desquelles il dégage la notion de fonction modulaire (Vorlesungenüber die Theorie der automorphenFunktionen, 1897-1902).

Felix Klein meurt à Göttingen le 22 juin 1925.

— Jacques MEYER

— Universalis