WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)
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La longue vie de Weierstrass fut entièrement consacrée à l'analyse mathématique et peu de savants exercèrent sur leur science une influence aussi profonde, durable et bienfaisante. D'abord professeur à l'Institut militaire prussien, Weierstrass passera en 1856 à l'université de Berlin, où il donnera régulièrement deux cours par an, hiver et été, jusqu'en 1890. La rédaction de ces cours par quelques auditeurs permit de publier, de 1902 à 1927, des leçons sur la théorie des transcendantes abéliennes, sur la théorie des fonctions elliptiques, sur les applications de celles-ci, sur le calcul des variations. Beaucoup de ses découvertes ne connurent d'autre publication que ces leçons ou des cours polycopiés.
Le reste de son œuvre comprend une cinquantaine de mémoires et articles originaux, de communications à l'Académie de Berlin (où il fut élu en 1857), le tout échelonné sur un demi-siècle. L'ensemble frappe aujourd'hui par la clarté et la rigueur que Weierstrass apporte à des questions obscures et imprécises pour ses contemporains, et aussi par l'unité de pensée qui y règne. On peut cependant distinguer les travaux sur les fonctions d'une variable complexe, sur les fonctions de plusieurs variables complexes, sur les fonctions de variables réelles et sur le calcul des variations.
Fonctions d'une variable complexe
Dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, contrairement à ses prédécesseurs, Weierstrass fait jouer le principal rôle aux développements tayloriens : c'est ce qu'on appelle le point de vue de Weierstrass, où holomorphie est synonyme d'analyticité, tandis qu'au point de vue de Cauchy l'holomorphie est la différentiabilité pour la structure complexe.
Ainsi, c'est à l'aide des développements tayloriens qu'en 1841 il démontre son théorème fondamental d'après lequel une limite de fonctions holomorphes, si elle est uniforme au voisinage de chaque point, fournit encore une fonction holomorphe ; les preuves données aujourd'hui utilisent de préférence intégr [...]
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Écrit par :
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
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GAMMA FONCTION
Dans le chapitre « Formules d'Euler et de Weierstrass » : […] Pour n tendant vers l'infini, tend vers e - t pour tout t , et cela suggère la formule (qu'il faut, bien entendu, démontrer rigoureusement) : la seconde intégrale s'obtenant en faisant le changement de variable t = nu dans la première. Or, un calcul facile montre que : d'où la formule d'Euler : Pour transformer cette expression, on peut écrire : or la quantité : tend vers une limite γ (la cé […] Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Analyse mathématique » : […] À la fin du xix e siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (cf. analyse mathématique , chap. 6), en liaison avec le développement de la fonction oscillatoire en série de fonctions des oscillations propres (c […] Lire la suite
INFINI, mathématiques
Dans le chapitre « Les ensembles infinis de Dedekind » : […] En 1870, Georg Cantor commence sa carrière mathématique en s'attaquant, après B. Riemann et H. Hankel, à l'étude des critères de convergence des séries de Fourier. Depuis longtemps déjà, l'infini mathématique avait cessé d'être une source d'inquiétudes métaphysiques : A. Cauchy, B. Bolzano et K. Weierstrass l'avaient pour ainsi dire réduit à l'état domestique. Le pas décisif avait été accompli i […] Lire la suite
LIMITE NOTION DE
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Dans le chapitre « L'arithmétisation de l'analyse » : […] Les œuvres de Frege et de Cantor sont produites dans le même contexte mathématique. L'analyse y est entièrement arithmétisée. Quelques-unes des structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux) sont dégagées. Le corpus mathématique contient des régions « canoniques » qui s'offrent comme des systèmes axiomatisés d'énoncés (cf. les leçons de Weierstrass sur la théorie des fonctions telles que […] Lire la suite
NUMÉRIQUE CALCUL
Dans le chapitre « Méthode de dichotomie » : […] Soit g une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle [ a , b ], telle que g ( a ) g ( b ) < 0. Il existe alors un élément α de [ a , b ] et un seul tel que g (α) = 0. On peut trouver des valeurs approchées de α par l'algorithme suivant : supposons par exemple g ( a ) > 0 et g ( b ) […] Lire la suite
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Dans le chapitre « Aperçu historique » : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D. Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l , fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d' […] Lire la suite
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Dans le chapitre « Conditions de Legendre et Jacobi » : […] Soit f un minimum relatif faible de J dans D . Utilisant à nouveau la formule de Taylor, on peut écrire, toujours à des termes d'ordres supérieurs près, la variation de J correspondant à une variation ω de f sous la forme : où l'on a posé : La fonctionnelle : est une forme quadratique sur l'espace E que l'on peut interpréter comme la dérivée seconde δ 2 J[ f ] de J en f : on dira que δ 2 J[ f […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Michel HERVÉ, « WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM - (1815-1897) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/karl-theodor-wilhelm-weierstrass/