FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions elliptiques et modulaire

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2^e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :  si x et t sont réels, ils doivent être compris entre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) résulte alors une correspondance conforme biunivoque entre x décrivant ω et u décrivant la bande δ définie par :

Le principe de symét [...]