MÉCANIQUE CÉLESTE

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Le problème des n corps

Équations du mouvement des n corps

Soient O l'origine d'un système de référence absolu et n corps Pi de masses mi. Les équations du mouvement du corps Pi sont :

j varie de 1 à n sans prendre la valeur i. Il y aura donc 3n équations différentielles du second ordre à intégrer pour connaître le mouvement des n corps. Seules dix intégrales premières du mouvement sont connues, et Henri Poincaré a montré qu'il n'existait pas d'autres intégrales premières uniformes du mouvement. On trouve ces intégrales premières de la façon suivante.

Tout d'abord, soit I le centre des masses des n corps défini par :

On en tire :

M est la somme des masses mi. En dérivant deux fois et compte tenu des équations générales écrites plus haut, on déduit que :

Le point I a donc un mouvement rectiligne et uniforme, ce qui donne six intégrales premières correspondant aux six constantes d'intégration du mouvement du centre des masses. Par ailleurs, puisqu'il n'y a pas de forces extérieures au système des n points, le moment cinétique en O du système est constant :

C est un vecteur constant, ce qui donne trois intégrales premières correspondant aux trois composantes de ce vecteur.

Enfin, le théorème des forces vives fournit la dixième intégrale première :

h est une constante et où U est le potentiel défini par :

i étant différent de j.

Ces intégrales premières sont en nombre insuffisant pour qu'on puisse intégrer les équations du mouvement, sauf si n = 2. C'est le mouvement des deux corps, qui est étudié dans le paragraphe précédent. On indiquera plus loin les différentes méthodes qui permettent de résoudre le problème des n corps.

Le problème d'un grand nombre de corps quelconques

Si l'on considère le problème des n corps dans toute sa généralité, on doit résoudre les équations du mouvement pour n corps de masses comparables entre elles, n étant aussi grand que l'on veut, les positions et les vitesses initiales étant distribuées de façon quelconque. C'est le cas, par exemple, dans les ensembles d'étoiles, amas galactiques, amas globulaires, [...]

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  • : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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Pour citer l’article

Bruno MORANDO, « MÉCANIQUE CÉLESTE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-celeste/