DYNAMIQUE

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La dynamique introduit la notion d'effort s'exerçant sur un ensemble mécanique. Son but est de relier les efforts aux mouvements possibles de cet ensemble (en permettant de calculer les efforts, si l'on connaît le mouvement, ou, inversement, de déterminer le mouvement, si les efforts sont donnés ou peuvent être éliminés pour ceux d'entre eux qui seraient inconnus a priori).

La notion d'effort est issue de l'expérience quotidienne : les contacts de l'homme avec son environnement. Au fur et à mesure du développement scientifique des conceptions mécaniques, on est arrivé à unifier la notion d'effort de contact et la notion d'action à distance en les regroupant dans un même concept.

Ces notions, relativement vagues, doivent être précisées à l'aide de principes qui, dans l'état actuel de la science classique, résument et idéalisent les propriétés générales que nous attribuons à la notion d'effort d'interaction entre ensembles matériels : association d'un torseur à des efforts exercés par un ensemble matériel sur un autre ensemble matériel, principe de réception (le torseur d'action sur une réunion est la somme des torseurs d'action sur chacun des éléments), principe de génération (le torseur d'action d'une réunion sur un ensemble est la somme des torseurs d'action de chacun des éléments sur cet ensemble). Parmi tous les efforts s'exerçant sur un ensemble matériel déterminé, le mécanicien est amené à établir une distinction entre les « efforts extérieurs » à l'ensemble matériel considéré (efforts exercés par le reste de l'Univers sur cet ensemble) et les « efforts intérieurs » (efforts exercés par les éléments de l'ensemble les uns sur les autres).

Le principe fondamental, sous sa forme la plus usuelle, s'applique justement à un ensemble matériel bien déterminé et ne fait intervenir que les efforts extérieurs : il s'exprime par l'égalité entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur dynamique (qui a été défini en cinétique), il postule l'existence d'au moins un repère et d'au moins une manière de mesurer le temps pour lesquels cette égalité est vraie. Un tel repère privilégié est dit galiléen. De cette égalité entre torseurs, on déduit, d'abord, deux égalités entre éléments de réduction de chacun des torseurs (somme et moment), puis on déduit de ces deux égalités vectorielles six équations scalaires. Au cours du développement historique de la mécanique, c'est le processus inverse qui a eu lieu : équations scalaires, équations vectorielles, égalité entre torseurs, les progrès mathématiques permettant à chaque fois des exposés synthétiques plus concis.

L'application du principe fondamental permet également de traiter le cas particulier de l'équilibre et de démontrer le théorème de l'action et de la réaction.

Le champ d'application du principe fondamental est absolument général. Ce principe fournit, pour chaque ensemble mécanique choisi par le calculateur, six équations différentielles du second ordre faisant intervenir, d'une part, les composantes d'éléments de réduction de torseurs inconnus (introduits notamment par les actions de contact) et, d'autre part, la variable de temps ainsi que les variables de configuration (permettant de situer l'ensemble dans le galiléen) et leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps. Bien entendu, en dynamique, on cherche, comme en mathématiques, à abaisser l'ordre des équations différentielles obtenues, et on le fait d'autant plus volontiers que les équations de la mécanique sont toujours assez complexes : c'est pourquoi on détecte systématiquement les intégrales premières.

Du principe fondamental on peut encore déduire de manière très générale les équations scalaires, dites équations de la dynamique analytique, lesquelles sont formées quasi automatiquement à partir d'opérations différentielles appliquées à l'énergie cinétique de l'ensemble mécanique et à la puissance développée par tous les efforts agissant sur lui.

Cette autre manière de traiter la mécanique, complètement équivalente à celle qui est issue du principe fondamental, est généralement considérée comme moins concrète. Pour en simplifier l'exposé, nous limiterons son champ d'application aux solides et à un ensemble fini de solides, pour lesquels nous écrirons en particulier les équations de Lagrange. Cette mécanique analytique conduit également à des intégrales premières (spécialement intégrale première de l'énergie et intégrale première de Painlevé).

Quelle que soit la manière dont on se propose d'aborder l'étude du mouvement d'un ensemble mécanique, il faut se rappeler qu'en dynamique il existe une classe de repères privilégiés auxquels on doit rapporter le mouvement. Or, en mécanique terrestre, qui est la plus fondamentale, dans l'état actuel de nos possibilités et de nos besoins, le repère qui se présente le plus naturellement est un repère lié à la Terre. Mais, bien qu'il ne fasse pas partie des repères privilégiés, il s'est comporté comme tel dans l'évolution des recherches en mécanique jusqu'à l'apparition technologique de solides tournant à grande vitesse et de déplacements rapides suivis pendant longtemps et avec précision.

L'étude des corrections systématiques à effectuer dans toutes les questions où la Terre ne peut pas être considérée comme un galiléen pose le problème plus général de l'étude des mouvements rapportés à des repères quelconques (cette rubrique est généralement appelée étude des mouvements et des équilibres relatifs). Moyennant l'intervention de deux systèmes de forces complémentaires, les équilibres et mouvements relatifs peuvent être traités comme des équilibres et des mouvements galiléens, et l'on retrouve à ce propos les deux aspects équivalents de la mécanique.

Puisque le principe fondamental fait intervenir les efforts extérieurs agissant sur un ensemble matériel, la mécanique emprunte à la pratique expérimentale des lois sur les champs de force dont quelques exemples simples sont exposés ici (frottements, gravitation, contacts élastiques). On a supposé jusqu'ici que les paramètres de configuration avaient des dérivées premières continues par rapport à la variable de temps ; on examinera donc enfin les modifications à introduire dans les équations issues du principe fondamental, aux instants où cette continuité n'a plus lieu (phénomènes de chocs). On profite de cette étude pour exprimer un nouvel énoncé du principe fondamental dont la forme sera plus commode pour l'application à des ensembles mécaniques assez compliqués (fusées).

Efforts s'exerçant sur un ensemble mécanique

Efforts extérieurs à un ensemble matériel

L'expérience quotidienne montre que les ensembles matériels ont des actions les uns sur les autres : l'aimant attire le fer, un objet quelconque abandonné à lui-même est attiré vers la Terre, une marche d'escalier après un long usage présente une usure notable, la molette du briquet en frottant sur la pierre provoque une étincelle, etc. Dans les deux premiers exemples (aimant et chute des [...]

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/