MÉCANIQUE CÉLESTE

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Problèmes généraux classiques et modernes

Orbites périodiques. Résonance

Des résultats théoriques importants concernant le problème des trois corps ont été obtenus en introduisant des orbites particulières, appelées orbites périodiques. Les premières ont été trouvées par Lagrange, et la théorie complète en a été faite par Poincaré.

Considérons un système d'équations différentielles de la forme :

i et j varient de 1 à n, et tel que les fonctions Xi soient des fonctions des p premières variables xi de période 2 π. Supposons qu'une solution du système xi = ϕi (t) ait la propriété suivante : quant t augmente de T, les p premières variables augmentent de 2 π, les autres restant inchangées. Une telle solution est dite périodique. Poincaré a cherché des solutions périodiques des équations de la mécanique céleste. Les conditions initiales dans le système solaire ont des probabilités nulles pour que les orbites correspondantes soient périodiques, mais les orbites véritables peuvent en différer très peu. Comme l'a dit Poincaré, il s'agit de « la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable ».

Les solutions périodiques sont classées en trois catégories. La première correspond à des mouvements plans et quasi circulaires, la deuxième à des mouvements plans mais où les orbites ont une excentricité non négligeable, la troisième à des inclinaisons non nulles.

Un des problèmes de mécanique céleste théorique les plus classiques est le problème restreint des trois corps. Deux des corps, de masses μ et 1 − μ, ont chacun un mouvement circulaire et uniforme autour de leur centre de gravité commun O ; un troisième corps, de masse négligeable, est soumis à l'attraction des deux premiers et se déplace dans le plan de leurs orbites. On étudie le mouvement dans un système d'axes tournants d'origine O, l'un des axes passant constamment par les deux premiers corps. De nombreuses recherches ont été faites pour trouver des orbites périodiques du troisième corps dans le système d'axes tournants. Signalons à ce propos le cas particulier dit prob [...]


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  • : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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Pour citer l’article

Bruno MORANDO, « MÉCANIQUE CÉLESTE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/mecanique-celeste/