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MÉCANIQUE CÉLESTE

Le but de la mécanique céleste est de prévoir, avec le plus d'exactitude possible et pour des époques aussi éloignées que possible dans le passé ou dans l'avenir, la position dans l'espace des corps célestes : planètes, satellites, étoiles...

La mécanique céleste classique a pour principal objet le mouvement des corps du système solaire. Elle s'appuie sur les principes suivants, établis par Galilée et Newton au xviie siècle :

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– L'espace est euclidien à trois dimensions, et le temps est un paramètre variant de moins l'infini à plus l'infini, indépendant du système de référence spatial envisagé.

– Il existe une infinité de repères fondamentaux, appelés repères inertiels, qui sont tous animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres et qui sont tels que tout point matériel qui n'est soumis à aucune force est soit au repos dans l'un de ces repères, soit animé d'un mouvement rectiligne et uniforme.

– Dans un repère inertiel, un point soumis à une force représentée par le vecteur F prend une accélération représentée par le vecteur γ, liée à F par la relation :

la constante de proportionnalité m étant appelée la masse inerte du point ou, tout simplement, sa masse. On appelle point matériel un point géométrique affecté d'une masse. On sera donc amené à supposer que l'on est capable de recenser à coup sûr toutes les actions physiques agissant sur un point matériel et à les représenter sous la forme d'un vecteur F, fonction de la position du point, de sa vitesse et d'autres paramètres, de telle sorte que l'accélération soit donnée par la formule ci-dessus. Si elle ne l'est pas, c'est que le référentiel considéré n'est pas galiléen, et on doit alors introduire des forces fictives appelées force d'inertie d'entraînement et force complémentaire de Coriolis.

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– Si un point matériel A exerce sur un point matériel B une force représentée par le vecteur F, le point B exerce sur le point A une force représentée par le vecteur − F (principe de l'action et de la réaction).

– La loi de la gravitation universelle de Newton s'énonce ainsi : un point matériel est soumis de la part d'un autre point matériel à une force attractive représentée par un vecteur porté par la droite qui joint les deux points et dont la grandeur est inversement proportionnelle au carré de leur distance.

La constante de proportionnalité est le produit d'une constante universelle, G, appelée constante de la gravitation par deux grandeurs appelées les masses graves de chacun des points. Le principe d'équivalence énonce que masses inertes et masses graves sont égales ; on les désigne simplement par le nom de masses. Dans le système SI, G a pour valeur 6,672 59 × 10−11 m3.kg−1.s−2.

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Nous verrons comment on établit les équations différentielles du mouvement de n points matériels. Leur intégration, très difficile, conduit à des solutions, presque toujours approchées, qui dépendent d'un certain nombre de constantes d'intégration qui, en astronomie, sont fournies par les observations.

Dans certains cas, les corps dont on étudie le mouvement ne peuvent être réduits à des points matériels ; il faut faire appel à des systèmes matériels qui, pour la mécanique céleste du système solaire, sont souvent assimilés à des corps solides.

Il arrive que la résolution concrète d'un problème de mécanique céleste conduise à tenir compte de forces annexes qui ne sont pas d'origine gravitationnelle (frottement atmosphérique sur un satellite artificiel proche de la Terre), ou qui ne dérivent pas d'une fonction de force (forces dissipatrices dues aux marées). On en tient compte dans la mesure où l'on sait donner à ces forces une expression mathématique rigoureuse.

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La théorie de la relativité générale donne de la gravitation une interprétation géométrique : l'espace-temps est courbé par la présence de matière, et d'euclidien devient riemannien. Les trajectoires des corps célestes, associées à la loi du temps sur ces trajectoires, sont alors interprétées comme étant des géodésiques de l'espace-temps. S'il résulte de cette conception une modification profonde des équations de la mécanique céleste, il n'en reste pas moins que les méthodes classiques de la mécanique newtonienne, plus simples à utiliser, donnent très souvent une approximation suffisante pour les besoins des astronomes, dans la mesure où ces derniers considèrent des champs faibles et des vitesses petites par rapport à celle de la lumière. Cependant, les observations ont atteint un tel degré de précision qu'on ne peut plus négliger les effets relativistes, qui sont introduits sous forme de corrections dans les théories traditionnelles.

Le mouvement des deux corps

Cas général

Figure 1 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Figure 1

Encyclopædia Universalis France

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Le point B étant soumis à une force centrale constamment dirigée vers A, le mouvement se fait dans un plan passant par A et par le vecteur vitesse initiale V0 ayant pour origine la position initiale B0. Ce mouvement se fait suivant la loi des aires, c'est-à-dire que le rayon AB balaie au cours du mouvement des aires égales en des temps égaux.

Prenons, dans le plan de cette orbite plane, un système de coordonnées polaires d'origine A et d'axe polaire AB0 ; r est le rayon vecteur, θ l'angle polaire. La loi des aires donne :

C étant une constante.

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Le théorème des forces vives donne :

où V est le module du vecteur V, μ le produit de la constante de la gravitation universelle par la somme des masses de A et de B, et h une constante. Mais on a aussi :

Cette équation et les deux précédentes donnent, en éliminant le temps, l'équation différentielle de la trajectoire :

On peut facilement intégrer cette équation en posant :

et l'on trouve :

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θ0 étant une constante. L'équation trouvée est l'équation d'une conique de foyer A (première loi de Kepler) et de paramètre C2/μ. L'axe focal est l'axe θ = θ0, et l'excentricité est le radical qui est en facteur de cos(θ − θ0). Par conséquent, le genre de la conique ne dépend que du signe de h. Or, d'après le théorème des forces vives :

donc, si V0 est plus petit que √2 μ/r0, la trajectoire est une ellipse ; s'il est plus grand, la trajectoire est une hyperbole. Si V0 est égal à √2 μ/r0, la trajectoire est une parabole ; on désigne parfois cette quantité par l'expression vitesse parabolique.

La trajectoire sera un cercle si V0 est perpendiculaire à AB0 et si l'excentricité est nulle. On montre facilement qu'il faut que V0 = √ μ/r0 pour qu'il en soit ainsi.

Le mouvement képlérien

Quand la trajectoire de B est une ellipse, le mouvement est dit képlérien. Ce mouvement joue un rôle particulièrement important en mécanique céleste.

Figure 2 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Figure 2

Encyclopædia Universalis France

Soit O le centre de l'ellipse décrite par B ; on rapporte l'ellipse à un système d'axes rectangulaires d'origine O, l'axe Ox étant porté par OA et orienté de O vers A. Le sommet du grand axe de l'ellipse le plus voisin du foyer A, soit P sur la figure, s'appelle le périastre ( périhélie si A est le Soleil, périgée si A est la Terre). L'autre sommet P′ est l' apoastre ( aphélie ou apogée). L'angle v = PAB est l' anomalie vraie du point B ; si B′ est le point du cercle principal de l'ellipse dont B est la projection, l'angle E = xOB′ est l'anomalie excentrique de B. On désigne par a le demi-grand axe de l'ellipse. Le paramètre est p = a(1 − e2) ; il est aussi égal à C2/μ ; donc, C2 = μa (1 − e2). Comme l'aire totale de l'ellipse est πa2 √1 − e2, on a aussi, en appelant T la période du mouvement (le temps que met B pour faire un tour complet de l'ellipse) :

donc :
ou :
en posant n = 2π/T. La relation trouvée prend le nom de troisième loi de Kepler. C'est Kepler en effet qui a trouvé empiriquement à partir des observations l'expression cidessus dans laquelle cependant il négligeait m′, masse d'une planète, très petite devant m, masse du Soleil. Il en résultait que, pour lui, les cubes des demi-grands axes de toutes les planètes étaient proportionnels aux carrés de leurs périodes de révolution.

L'aire du secteur elliptique HPB est la projection de l'aire du secteur circulaire HPB′ du cercle principal de l'ellipse sur le plan de celle-ci ; l'aire HPB est donc égale à l'aire HPB′ multipliée par √1 − e2.

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Or l'aire HPB′ est égale à la différence entre l'aire a2 E/2 du secteur OPB′ et l'aire du triangle OHB′, égale à (a2e sin E)/2. On aura donc, si t − τ est le temps mis par le point B pour aller de P en B′ :

d'où l'équation de Kepler :
qui permet de calculer la position de B sur son orbite pour un instant donné. L'angle M, proportionnel au temps, s'appelle l'anomalie moyenne.

Figure 3 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Figure 3

Encyclopædia Universalis France

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L'orbite képlérienne est définie dans son plan si l'on connaît le demi-grand axe a, l'excentricité e et l'un des temps de passage au périastre τ. Il reste à placer l'orbite dans l'espace. Pour cela, on considère en général un système d'axes de coordonnées rectangulaires d'origine A, soit Ax, Ay, Az. L'orbite coupe le plan Ax, Ay en deux points alignés avec A qu'on appelle les nœuds. Le nœud N où passe le point B quand il va du côté des z négatifs vers les z positifs est le nœud ascendant. L'orbite est complètement définie dans l'espace quand on connaît l'angle Ω entre Ax et AN, l'inclinaison i du plan de l'orbite sur le plan Ax, Ay et l'angle ω entre AN et la direction du périastre AP.

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Écrit par

  • : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes

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Figure 1 - crédits : Encyclopædia Universalis France

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