Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Le cas des applications

Étant donné deux variétés N et P de classe C, avec N compacte, une application f : N → P de classe C est dite stable si son orbite locale, sous l'action du groupe Diff N × Diff P est ouverte. Lorsque P = R, nous avons vu que les applications stables forment un ouvert dense de C(N, P) et ont pour seules singularités des points de Morse. Dès 1955, H. Whitney a montré que, si N et P sont de dimension deux, les applications stables forment un ouvert dense et ont pour seules singularités des plis et des fronces. Il fallut attendre R. Thom pour avoir les premiers exemples de couples (N, P) pour lesquels les applications stables ne sont pas denses ; en fait, seules les dimensions n et p de N et de P interviennent. Utilisant la notion de déploiement K-versel (à laquelle nous avons fait allusion au chapitre 9), J. Mather a pu classer les germes stables en termes algébriques et en déduire pour quels couples (n, p) les applications stables formaient un sous-ensemble dense de C(N, P).

Pli et fronce - crédits : Encyclopædia Universalis France

Pli et fronce

Théorème du nice range - crédits : Encyclopædia Universalis France

Théorème du nice range

Enfin, Thom et Mather ont pu montrer que les applications topologiquement stables (on se permet des changements de coordonnées simplement continus) forment toujours un ouvert dense. L'idée d'une démonstration est que presque toute application f : N → P est T.S.F. (c'est-à-dire telle que la restriction de f à son lieu singulier Σ(f ) soit un morphisme fini au sens de la géométrie algébrique, ce qui est la forme globale de la finitude de τ(f ) pour un germe de fonction). Une telle application se plonge dans un déploiement K-versel f ′ : N′ → P′ qui, grâce à sa stabilité, peut être stratifié. Enfin, pour presque toute f, les sous-variétés N de N′ et P de P′ sont transverses aux stratifications de N′ et de P′, ce qui permet de conclure en appliquant un théorème d'isotopie de Thom.

À l'extrême opposé, citons un bel exemple de Thom d'une famille d'applications polynomiales dont le type topologique varie continûment en fonction du paramètre k. On définit fk : R3 → R3 par fk(x, y, z) = (X, Y, Z), avec :

En géométrie analytique complexe, ces résultats se traduisent par la théorie des déformations des intersections complètes à singularité isolée. Signalons que Grauert a montré en 1972 que tout germe d'espace analytique à singularité isolée a une déformation (plate) universelle ; dans le cas général (non-intersection complète), l'exigence de platitude empêche la base S de la déformation d'être lisse.

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Classification

Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi