SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Quelques problèmes globaux

La théorie de Morse a été utilisée avec succès pour résoudre des problèmes de topologie différentielle. Il y a, en effet, un lien étroit entre les points singuliers d'une fonction de Morse f : N → R et la topologie de N. Par exemple, la caractéristique d'Euler de N (somme alternée des nombres de Betti) est égale à la somme alternée C₀ − C₁ + ... + (− 1)ⁿC_n, où C_i est le nombre de points singuliers de f d'indice i (l'indice d'un point singulier est l'indice de la forme quadratique des dérivées secondes en ce point, c'est-à-dire le nombre de carrés négatifs dans une diagonalisation).

L'exemple le plus simple est la restriction à la sphère unité de Rⁿ⁺¹ de l'une des fonctions coordonnées : il y a deux points critiques, un minimum d'indice 0 et un maximum d'indice n ; la caractéristique d'Euler est donc 1 + (− 1)ⁿ = 0 si n est impair, 2 si n est pair. Réciproquement, une variété compacte possédant une fonction de Morse avec seulement deux points critiques est homéomorphe à une sphère. Utilisant cela, S. Smale a résolu affirmativement en 1965 la conjecture de Poincaré en grande dimension, montrant qu'une variété compacte simplement connexe N de dimension n ≥ 5 ayant même homologie que la sphère Sⁿ est homéomorphe à Sⁿ. L'opération fondamentale est l'élimination d'un couple de points singuliers (d'indices consécutifs i et i + 1) d'une fonction de Morse f : N → R par une déformation : le modèle de cette opération est la déformation universelle de la singularité pli (voir le chapitre 8). Pour réaliser ce modèle à partir de f, il suffit de plonger dans N un objet géométrique (couple de nappes en bonne position) constitué d'un disque D de dimension i + 1 centré sur le point singulier d d'indice i + 1 et d'un disque A de dimension n − i centré sur le point singulier a d'indice i, dont les bords situés dans une même surface de niveau de f s'intersectent transversalement en un seul point et tels que la restriction de f à D (resp. A) soit une fonction de Morse ayant pour unique point singulier un maximum en d (resp. un minimum en a). La déformation de f n'a lieu que sur un voisinage de D ∪ A.

Dans le cas non simplement connexe, on se heurte pour plonger ce modèle à des obstructions du type « K-théorie ».

Suivant une terminologie de R. Thom, la singularité pli peut être appelée le « centre organisateur » du processus d'élimination (ou de naissance) d'un couple de points singuliers. D'autres problèmes de « retour au centre organisateur » concernant des singularités de plus grande codimension se posent dans la théorie de J. Cerf de la pseudo-isotopie, dont le principal résultat est la connexité, pour n ≥ 6, du groupe Diff⁺Dⁿ des difféomorphismes de classe C^∞, préservant l'orientation, du disque Dⁿ de dimension n.

À propos des singularités d'applications, citons simplement la théorie de Smale-Hirsh de la classification des immersions de variétés ouvertes, considérablement généralisée par Gronov, l'étude initiée par Thom des propriétés homologiques des ensembles singuliers d'une application générique, les recherches d'Eliashberg sur la simplification par chirurgie des lieux singuliers, etc.

Les singularités des applications différentiables ne sont qu'un aspect du monde des singularités ; bien d'autres directions de recherche n'ont pas été évoquées, comme la résolution des singularités, les singularités d'équations aux dérivées partielles, celles des champs de vecteurs, celles des feuilletages ; enfin, en topologie, la simple opération qui consiste à prendre le cône sur une variété conduit, lorsqu'on cherche à « arrondir les angles », à la riche théorie du cobordisme de Thom et[...]