SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Points singuliers non dégénérés

Sur une variété compacte, une fonction a nécessairement des points singuliers (c'est-à-dire non réguliers), à savoir les extrémums. Nous étudions dans ce chapitre les points singuliers les plus simples (et aussi les plus courants) ; ainsi que les points réguliers, ils sont caractérisés par une propriété de stabilité et, comme dans bien des cas, la source de cette stabilité est une situation de transversalité : rappelons qu'une application f d'une variété N dans une variété P est transverse en ∈ N à la sous-variété Q de P, ou bien si (a) ∉ Q, ou bien si f (a) ∈ Q et si l'espace tangent en f (a) à P est engendré par l'espace tangent en (a) à Q et l'image par Df (a) de l'espace tangent en a à N :

Si ξ : Rp → Rp-q est une équation locale de Q au voisinage de f (a), la condition de transversalité équivaut à dire que D(ξ ∘ )(a) est de rang p − q ; on en déduit immédiatement que, si g est assez proche de f au voisinage de a dans la topologie C1 et si b est assez proche de a, alors g est encore transverse en b à Q (cf. Transversalité, chapitre 5 de topologie - Topologie différentielle).

À titre d'exemple, étant donné une fonction f : Rn → R de classe C2, considérons l'application :

La transversalité en a ∈ Rn de Df à la sous-variété réduite au point 0 signifie ou bien que D(a) ≠ 0, ou bien que D(a) = 0 et :

qui implique que Df est un difféomorphisme d'un voisinage de a dans Rn sur un voisinage de 0 dans L(RnR).

Dans ce dernier cas, on dit que a est un point singulier non dégénéré (ou point singulier de Morse) de f. Remarquons qu'un tel point singulier est isolé et que, si g est assez proche de f au voisinage de a dans la topologie C2 (c'est-à-dire pour laquelle toutes les fonctions :

sont assez petites au voisinage de a), il existe un voisinage de a sur lequel l'équation Dg(x) = 0 a une solution unique b qui est un point singulier non dégénéré de g.

Cependant, contrairement à ce qui se passait pour les points réguliers en vertu du lemme de Sard, une fonction f : R→ R de classe C peut très [...]

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/