SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Classification des germes de petite codimension μ

Appelons stablement équivalents deux germes f ∈ E_n, g ∈ E_q tels que f (x₁, ..., x_n) et g(x₁, ..., x_q) + Q(x_q+1, ..., x_n) soient dans la même orbite de L_n, où Q est un germe de Morse (qu'on peut donc supposer être une forme quadratique non dégénérée). Les théories de déformation de f et g sont analogues car E_n/J(f ) ≃ E_q/J(g). Soit maintenant f ∈ M_n un germe singulier tel que le rang de la matrice :

soit égal à n − q. À l'aide d'un feuilletage de Rⁿ par des (n − q)-plans transverses au noyau de cette forme quadratique, on peut considérer f comme une déformation à q paramètres d'un germe de Morse dans E_n−q. L'expression, établie au chapitre 7, de la déformation universelle d'un germe de Morse nous fournit un germe g ∈ M³_q ⊂ E_q tel que f et g soient stablement équivalents. On appelle q le corang de f. Cette remarque est fondamentale pour la classification des germes de petite codimension car :puisque J(g) + M³_q est engendré par les générateurs de M³_q et q polynômes homogènes de degré 2 (le premier terme du développement de Taylor de chacune des dérivées partielles de g). Par exemple, si μ ≤ 6, on a forcément q ≤ 2 : c'est le cas pour la théorie des catastrophes élémentaires où μ ≤ 5, ce qui explique que celles-ci soient représentées par des fonctions de 1 ou 2 variables seulement !

En cherchant par quel jet les germes sont déterminés, on arrive facilement à la classification de René Thom (on a supposé f (0) = 0) :

μ = 0 germe régulier,

μ = 1 germe de Morse,

μ = 2 germe stablement équivalent à x³₁ (pli),

μ = 3 germe stablement équivalent à ± x⁴₁ (fronce ou cusp),

μ = 4 germe stablement équivalent à x⁵₁ (queue d'aronde)

 ou à x³₁ − 3x₁x²₂ (ombilic elliptique)

 ou à x³₁ + x³₂ (ombilic hyperbolique),

μ = 5 germe stablement équivalent à ± x⁶₁ (papillon)

 ou à x²₁x₂ + x⁴₂ (ombilic parabolique).

La déformation universelle de xⁿ a déjà été écrite ; des déformations universelles des ombilics sont, par exemple, les suivantes :

ombilic elliptique :

ombilic hyperbolique :ombilic parabolique :

Remarquons que tous ces germes sont représentés par des polynômes quasi homogènes ; en particulier f ∈ J(f ) : une conséquence de cela est l'identité, pour les germes ayant un μ petit, entre la théorie des déformations que nous avons considérée (changement de coordonnées à la source seulement) et la théorie dans laquelle on se permet aussi des changements de coordonnées au but ; en effet, on déduit de l'expression de DA(e) donnée au chapitre 5 que, dans cette dernière, J(f ) doit être remplacé par l'espace vectoriel :

qui, dans le cas quasi homogène, se réduit à J(f ) + R ( 1 : autrement dit, seul le terme constant de la déformation verselle disparaît, ce qui signifie qu'on ne perd rien en remplaçant l'ensemble des difféomorphismes de R par les seules translations.

Nous pouvons donc utiliser les formules qui précèdent pour décrire la géométrie de la stratification de C^∞(N, R) − Σ par les orbites de Diff N × Diff R au voisinage d'une fonction f̄ dont toutes les valeurs critiques sont distinctes et dont tous les points singuliers sauf un sont de Morse, l'unique point singulier dégénéré ayant une codimension μ ≤ 5. On part d'un des déploiements universels donnés ci-dessus dans lequel on a supprimé le terme constant λ₀ :

Dans ce déploiement universel, U est un voisinage ouvert de 0 dans Rⁿ, n = 1 ou 2, et où S est un voisinage ouvert de 0 dans Rμ−1. Soit :

ici f désigne le germe de la fonction considérée f̄ au voisinage de son unique point singulier dégénéré, et les classes de 1, f₁, ..., f_μ−1 engendrent E_n/J([...]