SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Classification des germes de petite codimension μ

Appelons stablement équivalents deux germes f ∈ E_n, g ∈ E_q tels que f (x₁, ..., x_n) et g(x₁, ..., x_q) + Q(x_q+1, ..., x_n) soient dans la même orbite de L_n, où Q est un germe de Morse (qu'on peut donc supposer être une forme quadratique non dégénérée). Les théories de déformation de f et g sont analogues car E_n/J(f ) ≃ E_q/J(g). Soit maintenant f ∈ M_n un germe singulier tel que le rang de la matrice :

soit égal à n − q. À l'aide d'un feuilletage de Rⁿ par des (n − q)-plans transverses au noyau de cette forme quadratique, on peut considérer f comme une déformation à q paramètres d'un germe de Morse dans E_n−q. L'expression, établie au chapitre 7, de la déformation universelle d'un germe de Morse nous fournit un germe g ∈ M³_q ⊂ E_q tel que f et g soient stablement équivalents. On appelle q le corang de f. Cette remarque est fondamentale pour la classification des germes de petite codimension car :

puisque J(g) + M³_q est engendré par les générateurs de M³_q et q polynômes homogènes de degré 2 (le premier terme du développement de Taylor de chacune des dérivées partielles de g). Par exemple, si μ ≤ 6, on a forcément q ≤ 2 : c'est le cas pour la théorie des catastrophes élémentaires où μ ≤ 5, ce qui explique que celles-ci soient représentées par des fonctions de 1 ou 2 variables seulement !

En cherchant par quel jet les germes sont déterminés, on arrive facilement à la classification de René Thom (on a supposé f (0) = 0) :

μ = 0 germe régulier,

μ = 1 germe de Morse,

μ = 2 germe stablement équivalent à x³₁ (pli),

μ = 3 germe stablement équivalent à ± x⁴₁ (fronce ou cusp),

μ = 4 germe stablement équivalent à x⁵₁ (queue d'aronde)

 ou à x³₁ − 3x₁x²₂ (ombilic elliptique)

 ou à x³₁ + x³₂ (ombilic hyperbolique),

μ = 5 germe stablement équivalent à ± x⁶₁ (papillon)

 ou à x²₁x₂ + x⁴₂ (ombilic parabolique).

La déformation universelle de xⁿ a déjà été écrite ; des déformations universelles des ombilics sont, par exemple, les suivantes :

ombilic elliptique :

ombilic hyperbolique :

ombilic parabolique :

Remarquons que tous ces germes sont représentés par des polynômes quasi homogènes ; en particulier f ∈ J(f ) : une conséquence de cela est l'identité, pour les germes ayant un μ petit, entre la théorie des déformations que nous avons considérée (changement de coordonnées à la source seulement) et la théorie dans laquelle on se permet aussi des changements de coordonnées au but ; en effet, on déduit de l'expression de DA(e) donnée au chapitre 5 que, dans cette dernière, J(f ) doit être remplacé par l'espace vectoriel :

qui, dans le cas quasi homogène, se réduit à J(f ) + R ( 1 : autrement dit, seul le terme constant de la déformation verselle disparaît, ce qui signifie qu'on ne perd rien en remplaçant l'ensemble des difféomorphismes de R par les seules translations.

Nous pouvons donc utiliser les formules qui précèdent pour décrire la géométrie de la stratification de C^∞(N, R) − Σ par les orbites de Diff N × Diff R au voisinage d'une fonction f̄ dont toutes les valeurs critiques sont distinctes et dont tous les points singuliers sauf un sont de Morse, l'unique point singulier dégénéré ayant une codimension μ ≤ 5. On part d'un des déploiements universels donnés ci-dessus dans lequel on a supprimé le terme constant λ₀ :

Dans ce déploiement universel, U est un voisinage ouvert de 0 dans Rⁿ, n = 1 ou 2, et où S est un voisinage ouvert de 0 dans Rμ−1. Soit :

ici f désigne le germe de la fonction considérée f̄ au voisinage de son unique point singulier dégénéré, et les classes de 1, f₁, ..., f_μ−1 engendrent E_n/J(f ).

Soit C ⊂ U × S l'ensemble (algébrique) des couples (x, λ) tels que x soit un point singulier de f_λ, c'est-à-dire :

pour tout j.

Le début du présent chapitre 8 nous permet de supposer que j²f (0) = 0 et donc que f_c(x) = x_i pour i = 1, ..., n. On en déduit que C est un graphe, donc une sous-variété C^∞ de U × S. On voit alors facilement que l'ensemble K des points (x, λ) ∈ C tels que x soit un point singulier dégénéré de f_λ n'est autre que l'ensemble des points où la restriction de F à C n'est pas de rang maximal, ou encore l'ensemble des points où la restriction à C de la projection π : U × S → S n'est pas de rang maximal.

Notons Bif(F), ensemble de bifurcation de F, l'image π(K) ⊂ S ; c'est l'ensemble des points λ tels que f_λ ait au moins un point critique dégénéré. L'image F(C), graphique de F, est une sous-variété algébrique de R × S ; la projection sur S de ses points singuliers est la réunion de Bif (F) et de l'ensemble Max(F), ensemble de Maxwell de F, des valeurs de λ pour lesquelles f_λ a au moins deux valeurs critiques égales. On peut montrer que, si λ₁ et λ₂ sont dans la même composante connexe de S − [Bif(F) ∪ Max(F)], alors f_λ1 et f_λ2 sont deux fonctions de Morse excellentes se déduisant l'une de l'autre par un changement de coordonnées dans U et une translation de R. Pour obtenir la trace sur S de la stratification cherchée, il suffit donc de décomposer Bif(F) et Max (F) en orbites, ce qui peut se faire explicitement (voir les figures). Il reste à montrer, mais ce n'est pas difficile, que la stratification obtenue au niveau des germes coïncide avec la stratification définie au voisinage de f̄ par les orbites de Diff N × Diff R sur une sous-variété de dimension μ − 1 transverse à l'orbite de f̄. Pour des fonctions T.S.F. f̄ plus générales, on raisonne de même avec le multigerme de f̄ en ses points singuliers dégénérés.

Les figures explicitent les constructions ci-dessus pour les germes x³ et x⁴.

Les figures suivantes ne concernent que la stratification dans S ou des sections de celle-ci par des plans.

Il apparaît que, comme nous l'avons indiqué dans le chapitre 7, la stratification par les orbites est localement finie pour ces valeurs de μ.

V. I. Arnold et son école ont montré que la classification des singularités suivant la « modalité » (ou nombre de modules, c'est-à-dire le nombre maximal de paramètres continus dont dépend une famille d'orbites contenant l'orbite considérée) présente une étonnante richesse de structure : par exemple, les singularités sans module (dites singularités simples) sont associées aux groupes de Coxeter A_n, D_n, E₆, E₇, E₈, et donc aux solides platoniciens (Arnold, Critical Points of Smooth Functions).