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SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Classification des germes de petite codimension μ

Appelons stablement équivalents deux germes f ∈ En, g ∈ Eq tels que f (x1, ..., xn) et g(x1, ..., xq) + Q(xq+1, ..., xn) soient dans la même orbite de Ln, où Q est un germe de Morse (qu'on peut donc supposer être une forme quadratique non dégénérée). Les théories de déformation de f et g sont analogues car En/J(f ) ≃ Eq/J(g). Soit maintenant f ∈ Mn un germe singulier tel que le rang de la matrice :

soit égal à n − q. À l'aide d'un feuilletage de Rn par des (n − q)-plans transverses au noyau de cette forme quadratique, on peut considérer f comme une déformation à q paramètres d'un germe de Morse dans Enq. L'expression, établie au chapitre 7, de la déformation universelle d'un germe de Morse nous fournit un germe g ∈ M3q ⊂ Eq tel que f et g soient stablement équivalents. On appelle q le corang de f. Cette remarque est fondamentale pour la classification des germes de petite codimension car :
puisque J(g) + M3q est engendré par les générateurs de M3q et q polynômes homogènes de degré 2 (le premier terme du développement de Taylor de chacune des dérivées partielles de g). Par exemple, si μ ≤ 6, on a forcément q ≤ 2 : c'est le cas pour la théorie des catastrophes élémentaires où μ ≤ 5, ce qui explique que celles-ci soient représentées par des fonctions de 1 ou 2 variables seulement !

En cherchant par quel jet les germes sont déterminés, on arrive facilement à la classification de René Thom (on a supposé f (0) = 0) :

μ = 0 germe régulier,

μ = 1 germe de Morse,

μ = 2 germe stablement équivalent à x31 (pli),

μ = 3 germe stablement équivalent à ± x41 (fronce ou cusp),

μ = 4 germe stablement équivalent à x51 (queue d'aronde)

 ou à x31 − 3x1x22 (ombilic elliptique)

 ou à x31 + x32 (ombilic hyperbolique),

μ = 5 germe stablement équivalent à ± x61 (papillon)

 ou à x21x2 + x42 (ombilic parabolique).

La déformation universelle de xn a déjà été écrite ; des déformations universelles des ombilics sont, par exemple, les suivantes :

ombilic elliptique :

ombilic hyperbolique :
ombilic parabolique :

Remarquons que tous ces germes sont représentés par des polynômes quasi homogènes ; en particulier f ∈ J(f ) : une conséquence de cela est l'identité, pour les germes ayant un μ petit, entre la théorie des déformations que nous avons considérée (changement de coordonnées à la source seulement) et la théorie dans laquelle on se permet aussi des changements de coordonnées au but ; en effet, on déduit de l'expression de DA(e) donnée au chapitre 5 que, dans cette dernière, J(f ) doit être remplacé par l'espace vectoriel :

qui, dans le cas quasi homogène, se réduit à J(f ) + R ( 1 : autrement dit, seul le terme constant de la déformation verselle disparaît, ce qui signifie qu'on ne perd rien en remplaçant l'ensemble des difféomorphismes de R par les seules translations.

Nous pouvons donc utiliser les formules qui précèdent pour décrire la géométrie de la stratification de C(N, R) − Σ par les orbites de Diff N × Diff R au voisinage d'une fonction dont toutes les valeurs critiques sont distinctes et dont tous les points singuliers sauf un sont de Morse, l'unique point singulier dégénéré ayant une codimension μ ≤ 5. On part d'un des déploiements universels donnés ci-dessus dans lequel on a supprimé le terme constant λ0 :

Dans ce déploiement universel, U est un voisinage ouvert de 0 dans Rn, n = 1 ou 2, et où S est un voisinage ouvert de 0 dans Rμ−1. Soit :

ici f désigne le germe de la fonction considérée au voisinage de son unique point singulier dégénéré, et les classes de 1, f1, ..., fμ−1 engendrent En/J([...]

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Classification

Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi