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SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Stratification de C∞(N, R) − Σ et familles « génériques » de fonctions

On peut caractériser les déformations verselles par une propriété de transversalité (comparer à la transversalité de S à l'orbite locale de f au chapitre 5) : si f ∈ En est déterminé à difféomorphisme local près par son jet d'ordre k, alors F ∈ En+l est une déformation verselle de f si et seulement si l'application ϕ : Rn+l ↦ Jk0(Rn, R), où ϕ(x, t) est le jet d'ordre k en 0 de y ↦ F(x + y, t), est transverse en (0, 0) à l'orbite Γkf de jkf (0) sous l'action du groupe Lkn des k-jets en 0 de difféomorphismes locaux de Rn, 0.

Cela pourrait laisser croire que, « en général », une famille de fonctions est un déploiement versel de chacun des éléments de la famille (au niveau des germes ou au niveau global).

Point de non-transversalité - crédits : Encyclopædia Universalis France

Point de non-transversalité

S'il en est bien ainsi pour des familles dépendant d'un petit nombre de paramètres, il n'en est rien dans le cas général, car les orbites dans Jk0(Rn, R) (resp. dans C(N, R)) de l'action de Lkn (resp. de Diff N × Diff R) forment des familles continues (modules) et, si la transversalité à une sous-variété est une propriété vérifiée « en général », ce n'est plus le cas de la transversalité à toutes les sous-variétés d'une famille.

Il est naturel de chercher à grouper ces familles d'orbites en sous-variétés (ouvertes) formant une partition localement finie (stratification) de Jk0(Rn, R) − Σk(resp. C(N, R) − Σ) ayant d'assez bonnes propriétés (stratification de Whitney) pour que la transversalité à chacune des sous-variétés de la partition (strate) soit vérifiée « en général ». De telles stratifications ont été construites par R. Thom et J. Mather.

Un exemple simple de module nous est fourni par la famille des 4-jets en 0 des fonctions x3y − xy3 + tx2y2 = ft(x, y) ; le birapport des quatre droites ft−1(0) est un invariant de l'orbite et varie continûment avec t. Remarquons que, dans cet exemple, les germes ft se déduisent l'un de l'autre par un changement de coordonnées continu (mais non différentiable). Dans le cas général, les éléments d'une même strate auront « même type topologique » (en fait même type topologique universel, ce qui est plus fort) et une famille transverse à la strate sera une déformation topologiquement verselle.

Connaître la géométrie de cette stratification peut alors être considéré comme une réponse à la deuxième question posée dans l'introduction.

Lorsque la codimension est petite, le groupe agit transitivement sur les strates, et la stratification peut être complètement décrite. C'est cette description que nous esquissons dans le chapitre suivant.

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Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi