SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Stratification de C∞(N, R) − Σ et familles « génériques » de fonctions

On peut caractériser les déformations verselles par une propriété de transversalité (comparer à la transversalité de S à l'orbite locale de f au chapitre 5) : si f ∈ E_n est déterminé à difféomorphisme local près par son jet d'ordre k, alors F ∈ E_n+l est une déformation verselle de f si et seulement si l'application ϕ : R^n+l ↦ J^k₀(Rⁿ, R), où ϕ(x, t) est le jet d'ordre k en 0 de y ↦ F(x + y, t), est transverse en (0, 0) à l'orbite Γ^kf de j^kf (0) sous l'action du groupe L^k_n des k-jets en 0 de difféomorphismes locaux de Rⁿ, 0.

Cela pourrait laisser croire que, « en général », une famille de fonctions est un déploiement versel de chacun des éléments de la famille (au niveau des germes ou au niveau global).

S'il en est bien ainsi pour des familles dépendant d'un petit nombre de paramètres, il n'en est rien dans le cas général, car les orbites dans J^k₀(Rⁿ, R) (resp. dans C^∞(N, R)) de l'action de L^k_n (resp. de Diff N × Diff R) forment des familles continues (modules) et, si la transversalité à une sous-variété est une propriété vérifiée « en général », ce n'est plus le cas de la transversalité à toutes les sous-variétés d'une famille.

Il est naturel de chercher à grouper ces familles d'orbites en sous-variétés (ouvertes) formant une partition localement finie (stratification) de J^k₀(Rⁿ, R) − Σ_k(resp. C^∞(N, R) − Σ) ayant d'assez bonnes propriétés (stratification de Whitney) pour que la transversalité à chacune des sous-variétés de la partition (strate) soit vérifiée « en général ». De telles stratifications ont été construites par R. Thom et J. Mather.

Un exemple simple de module nous est fourni par la famille des 4-jets en 0 des fonctions x³y − xy³ + tx²y² = f_t(x, y) ; le birapport des quatre droites f _t⁻¹(0) est un invariant de l'orbite et varie continûment avec t. Remarquons que, dans cet exemple, les germes f_t se déduisent l'un de l'autre par un changement de coordonnées continu (mais non différentiable). Dans le cas général, les éléments d'une même strate auront « même type topologique » (en fait même type topologique universel, ce qui est plus fort) et une famille transverse à la strate sera une déformation topologiquement verselle.

Connaître la géométrie de cette stratification peut alors être considéré comme une réponse à la deuxième question posée dans l'introduction.

Lorsque la codimension est petite, le groupe agit transitivement sur les strates, et la stratification peut être complètement décrite. C'est cette description que nous esquissons dans le chapitre suivant.