SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Lien avec la théorie des déformations des germes d'hypersurfaces analytiques et l'équisingularité

Dans ce chapitre, nous supposons (0) = 0. Les germes f ∈ En de détermination finie ont été caractérisés par la finitude de μ() = dim E/J() ; on peut montrer que cela équivaut à la finitude de τ() = dim En/(f, J()) où (f, J()) désigne l'idéal engendré par les germes de f, ∂/∂x1, ..., ∂/∂xn (cette équivalence est propre au cas où le but est de dimension 1). Si f est analytique complexe, cette dernière condition signifie que 0 est un point singulier de l'hypersurface f̃ −1(0) de Cn, où désigne le complexifié de f.

On peut interpréter τ comme une codimension (le groupe des germes de difféomorphismes de Rn en 0 est remplacé par le groupe K de Mather) : deux germes f et g tels que (0) = g(0) = 0 sont dans la même orbite si et seulement si −1(0) et g−1(0) sont isomorphes au sens de la géométrie algébrique. Il est facile de développer dans ce nouveau cadre une théorie des déformations : l'énoncé classique du théorème de préparation de Weierstrass s'identifie alors (modulo une translation supprimant le terme en xn−1) au théorème des déformations K-universelles pour le germe xn.

Cette théorie est plus simple que celle du chapitre 8 : en particulier, les déploiements K-versels de f ∈ Mn ne sont autres que les déploiements stables comme germes d'application de Rn+k dans R1+k, c'est-à-dire inchangés après perturbation modulo changements de coordonnées C à la source et au but ; cette remarque est d'ailleurs à la base de la classification par J. Mather des germes d'applications stables.

Considérons maintenant un germe holomorphe  : Cn, 0 → C, 0 de codimension finie et un déploiement K-universel

de (la théorie complexe est en tout point analogue à la théorie réelle).

Notons X = F̃−1(0 × Ck), S = 0 × Ck et soit G : X, 0 → S, 0 la restriction à X de F̃. L'ensemble X est un germe de sous-variété analytique sans singularité de C× Ck (c'est un graphe) et on montre que G est un germe d'application stable, qui n [...]


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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/