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SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Lien avec la théorie des déformations des germes d'hypersurfaces analytiques et l'équisingularité

Dans ce chapitre, nous supposons f (0) = 0. Les germes f ∈ En de détermination finie ont été caractérisés par la finitude de μ(f ) = dim En /J(f ) ; on peut montrer que cela équivaut à la finitude de τ(f ) = dim En/(f, J(f )) où (f, J(f )) désigne l'idéal engendré par les germes de f, ∂f /∂x1, ..., ∂f /∂xn (cette équivalence est propre au cas où le but est de dimension 1). Si f est analytique complexe, cette dernière condition signifie que 0 est un point singulier de l'hypersurface f̃ −1(0) de Cn, où désigne le complexifié de f.

On peut interpréter τ comme une codimension (le groupe des germes de difféomorphismes de Rn en 0 est remplacé par le groupe K de Mather) : deux germes f et g tels que f (0) = g(0) = 0 sont dans la même orbite si et seulement si f −1(0) et g−1(0) sont isomorphes au sens de la géométrie algébrique. Il est facile de développer dans ce nouveau cadre une théorie des déformations : l'énoncé classique du théorème de préparation de Weierstrass s'identifie alors (modulo une translation supprimant le terme en xn−1) au théorème des déformations K-universelles pour le germe xn.

Cette théorie est plus simple que celle du chapitre 8 : en particulier, les déploiements K-versels de f ∈ Mn ne sont autres que les déploiements stables comme germes d'application de Rn+k dans R1+k, c'est-à-dire inchangés après perturbation modulo changements de coordonnées C à la source et au but ; cette remarque est d'ailleurs à la base de la classification par J. Mather des germes d'applications stables.

Considérons maintenant un germe holomorphe  : Cn, 0 → C, 0 de codimension finie et un déploiement K-universel

de (la théorie complexe est en tout point analogue à la théorie réelle).

Déformation universelle d'un point épais - crédits : Encyclopædia Universalis France

Déformation universelle d'un point épais

Notons X = F̃−1(0 × Ck), S = 0 × Ck et soit G : X, 0 → S, 0 la restriction à X de F̃. L'ensemble X est un germe de sous-variété analytique sans singularité de Cn × Ck (c'est un graphe) et on montre que G est un germe d'application stable, qui n'est autre que la déformation universelle de l'hypersurface à singularité isolée −1(0) au sens de la géométrie analytique. La figure faite dans le domaine réel montre la déformation universelle d'un point épais (c'est-à-dire avec multiplicité) qui se déforme en plusieurs points simples.

Finissons cette incursion dans le domaine analytique complexe en effleurant un champ immense, l'étude géométrique des germes d'hypersurfaces analytiques complexes : ce n'est pas s'éloigner du sujet initial puisqu'un germe T.S.F. peut se représenter par un polynôme dans des coordonnées locales bien choisies et donc être complexifié. Le lien entre la géométrie et l'algèbre est incomparablement plus étroit en complexe qu'en réel. Par exemple, si est le complexifié du germe holomorphe f ∈ En, le nombre μ(f ) s'interprète comme le degré local en 0 de l'application :

de Cn dans Cn ; on en déduit que, si :
est une déformation (complexe) de définie sur un petit voisinage U × V de 0 dans Cn × Ck, alors μ(f ) est le nombre de points singuliers dans U d'une fonction de Morse de la famille (même définition qu'en réel), c'est-à-dire le nombre de points singuliers non dégénérés en lesquels se décompose le point singulier 0 de .

Fibration de Milnor - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fibration de Milnor

Une autre interprétation de μ est donnée par le théorème de fibration de Milnor : Considérons un germe holomorphe  : Cn, 0 → C, 0 de codimension finie ; si ε est assez petit, la (2 n − 1)-sphère Sε de centre 0 et de rayon ε dans Cn = R2n coupe f̃ −1(0) transversalement ; l'intersection[...]

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Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi