SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Lien avec la théorie des déformations des germes d'hypersurfaces analytiques et l'équisingularité

Dans ce chapitre, nous supposons f (0) = 0. Les germes f ∈ E_n de détermination finie ont été caractérisés par la finitude de μ(f ) = dim E_n/J(f ) ; on peut montrer que cela équivaut à la finitude de τ(f ) = dim E_n/(f, J(f )) où (f, J(f )) désigne l'idéal engendré par les germes de f, ∂f /∂x₁, ..., ∂f /∂x_n (cette équivalence est propre au cas où le but est de dimension 1). Si f est analytique complexe, cette dernière condition signifie que 0 est un point singulier de l'hypersurface f̃ ⁻¹(0) de Cⁿ, où f̃ désigne le complexifié de f.

On peut interpréter τ comme une codimension (le groupe des germes de difféomorphismes de Rⁿ en 0 est remplacé par le groupe K de Mather) : deux germes f et g tels que f (0) = g(0) = 0 sont dans la même orbite si et seulement si f ⁻¹(0) et g⁻¹(0) sont isomorphes au sens de la géométrie algébrique. Il est facile de développer dans ce nouveau cadre une théorie des déformations : l'énoncé classique du théorème de préparation de Weierstrass s'identifie alors (modulo une translation supprimant le terme en xⁿ⁻¹) au théorème des déformations K-universelles pour le germe xⁿ.

Cette théorie est plus simple que celle du chapitre 8 : en particulier, les déploiements K-versels de f ∈ M_n ne sont autres que les déploiements stables comme germes d'application de R^n+k dans R^1+k, c'est-à-dire inchangés après perturbation modulo changements de coordonnées C^∞ à la source et au but ; cette remarque est d'ailleurs à la base de la classification par J. Mather des germes d'applications stables.

Considérons maintenant un germe holomorphe f̃ : Cⁿ, 0 → C, 0 de codimension finie et un déploiement K-universel

de f̃ (la théorie complexe est en tout point analogue à la théorie réelle).

Notons X = F̃⁻¹(0 × C^k), S = 0 × C^k et soit G : X, 0 → S, 0 la restriction à X de F̃. L'ensemble X est un germe de sous-variété analytique sans singularité de Cⁿ× C^k (c'est un graphe) et on montre que G est un germe d'application stable, qui n'est autre que la déformation universelle de l'hypersurface à singularité isolée f̃⁻¹(0) au sens de la géométrie analytique. La figure faite dans le domaine réel montre la déformation universelle d'un point épais (c'est-à-dire avec multiplicité) qui se déforme en plusieurs points simples.

Finissons cette incursion dans le domaine analytique complexe en effleurant un champ immense, l'étude géométrique des germes d'hypersurfaces analytiques complexes : ce n'est pas s'éloigner du sujet initial puisqu'un germe T.S.F. peut se représenter par un polynôme dans des coordonnées locales bien choisies et donc être complexifié. Le lien entre la géométrie et l'algèbre est incomparablement plus étroit en complexe qu'en réel. Par exemple, si f̃ est le complexifié du germe holomorphe f ∈ E_n, le nombre μ(f ) s'interprète comme le degré local en 0 de l'application :

de Cⁿ dans Cⁿ ; on en déduit que, si :est une déformation (complexe) de f̃ définie sur un petit voisinage U × V de 0 dans Cⁿ× C^k, alors μ(f ) est le nombre de points singuliers dans U d'une fonction de Morse de la famille (même définition qu'en réel), c'est-à-dire le nombre de points singuliers non dégénérés en lesquels se décompose le point singulier 0 de f̃.

Une autre interprétation de μ est donnée par le théorème de fibration de Milnor : Considérons un germe holomorphe f̃ : Cⁿ, 0 → C, 0 de codimension finie ; si ε est assez petit, la (2 n − 1)-sphère Sε de centre 0 et de rayon ε dans Cⁿ = R²ⁿ coupe f̃ ⁻¹(0) transversalement ; l'intersection[...]