SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Espaces de jets et théorèmes de transversalité de Thom

Cette impossibilité de définir intrinsèquement des dérivées d'ordre supérieur autrement qu'à travers une inflation de fibrés tangents de tangents de tangents... a conduit C. Ehresman à introduire, dans les années cinquante, la notion de jet d'application, fondamentale dans le sujet qui nous occupe : la remarque de base est que, si la dérivée k-ième de f en ∈ N ne peut pas être définie en général comme forme k-linéaire sur TaN, la propriété pour deux fonctions f et g de coïncider au point a jusqu'à l'ordre k (c'est-à-dire d'avoir en a les mêmes dérivées jusqu'à l'ordre k) dans une carte locale est indépendante du choix de la carte locale. On dit alors que f et g ont même jet d'ordre k en a ; la classe d'équivalence ainsi définie est appelée jet d'ordre k (ou k-jet) de f au point a, et notée jkf (a). L'ensemble des k-jets au point a de fonctions C sur N est noté Jka(N, R) ; la réunion disjointe des Jka(N, R), lorsque a parcourt N, est notée Jk(N, R). Si N = Rn, l'application qui à jk(a) associe le couple du point a et du polynôme de Taylor de la fonction X ↦ f (a + X) à l'ordre k en 0 (vérifier l'indépendance du choix du représentant ) identifie canoniquement Jk(RnR) au produit de Rn par l'ensemble Pk(n) des polynômes à n variables de degré inférieur ou égal à k, ce qui munit Jk(RnR) d'une topologie. Par exemple Jk(RR) ≃ Rk+1, J2(R2R) ≃ R7, ... On peut en déduire une topologie sur Jk(N, R) qui en fait une variété C, fibrée sur N de fibre Jk 0(RnR) ≃ Pk(n) (cf. Les espaces fibrés, chapitre 4 de topologie - Topologie algébrique).

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable, de la forme f(x) = a + bx2

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L'application Jkf : N → Jk(N, R) qui à x associe jkf (x) est alors C. Par le choix d'une carte locale de N, cette application devient :

ce qui nous ramène à l'exemple qui nous a servi de point de départ.

Soit Q la sous-variété de J1(N, R) formée des jets z de la forme z = j1f (x), Df (x) = 0 (cette condition ne dépend que de z). Une fonction f de Morse sur N n'est autre qu'une fonction telle que l'application j1f soit en tout point [...]


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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/