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SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Espaces de jets et théorèmes de transversalité de Thom

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Cette impossibilité de définir intrinsèquement des dérivées d'ordre supérieur autrement qu'à travers une inflation de fibrés tangents de tangents de tangents... a conduit C. Ehresman à introduire, dans les années cinquante, la notion de jet d' application, fondamentale dans le sujet qui nous occupe : la remarque de base est que, si la dérivée k-ième de f en a ∈ N ne peut pas être définie en général comme forme k-linéaire sur TaN, la propriété pour deux fonctions f et g de coïncider au point a jusqu'à l'ordre k (c'est-à-dire d'avoir en a les mêmes dérivées jusqu'à l'ordre k) dans une carte locale est indépendante du choix de la carte locale. On dit alors que f et g ont même jet d'ordre k en a ; la classe d'équivalence ainsi définie est appelée jet d'ordre k (ou k-jet) de f au point a, et notée jkf (a). L'ensemble des k-jets au point a de fonctions C sur N est noté Jka(N, R) ; la réunion disjointe des Jka(N, R), lorsque a parcourt N, est notée Jk(N, R). Si N = Rn, l'application qui à jkf (a) associe le couple du point a et du polynôme de Taylor de la fonction X ↦ f (a + X) à l'ordre k en 0 (vérifier l'indépendance du choix du représentant f ) identifie canoniquement Jk(Rn, R) au produit de Rn par l'ensemble Pk(n) des polynômes à n variables de degré inférieur ou égal à k, ce qui munit Jk(Rn, R) d'une topologie. Par exemple Jk(R, R) ≃ Rk+1, J2(R2, R) ≃ R7, ... On peut en déduire une topologie sur Jk(N, R) qui en fait une variété C, fibrée sur N de fibre Jk0(Rn, R) ≃ Pk(n) (cf. Les espaces fibrés, chapitre 4 de topologie - Topologie algébrique).

L'application Jkf : N → Jk(N, R) qui à x associe jkf (x) est alors C. Par le choix d'une carte locale de N, cette application devient :

ce qui nous ramène à l'exemple qui nous a servi de point de départ.

Soit Q la sous-variété de J1(N, R) formée des jets z de la forme z = j1f (x), Df (x) = 0 (cette condition ne dépend que de z). Une fonction f de Morse sur N n'est autre qu'une fonction telle que l'application j1f soit en tout point transverse à Q, ce qui explique le caractère intrinsèque de la définition locale du chapitre précédent. Énonçons maintenant, dans le cadre qui nous intéresse, le premier théorème de transversalité de Thom, qui implique immédiatement le théorème de densité des fonctions de Morse énoncé à la fin du chapitre précédent.

Théorème de densité. Si N est une variété compacte, Q une sous-variété fermée de Jk(N, R), l'ensemble des f ∈ C(N, R) tels que jkf soit en tout point transverse à Q est un ouvert dense.

Il est important de remarquer qu'on ne considère pas dans ce théorème toutes les applications de N dans Jk(N, R), mais seulement celles qui sont « intégrables », c'est-à-dire de la forme jkg, avec g ∈ C(N, R) ; la démonstration est une généralisation de celle que nous avons faite à propos des points singuliers de Morse.

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Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi