SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Points singuliers de détermination finie et fonctions T.S.F.

Nous avons vu dans le premier chapitre que, au voisinage d'un point régulier, une fonction C est caractérisée, à changement de coordonnées locales près, par son jet d'ordre 1 en ce point ; nous étudions maintenant les points singuliers ayant une propriété analogue vis-à-vis du jet à un ordre fini. Nous retrouverons en particulier le lemme de Morse, à la base de si nombreux développements en topologie différentielle.

L'importance de cette question vient de ce que, contrairement à une fonction C quelconque, une fonction polynomiale est susceptible d'une étude géométrique très précise.

Les résultats étant purement locaux, il est commode d'utiliser le langage des germes : deux applications f et g d'une variété N dans une variété P définissent le même germe en ∈ N si elles coïncident sur un voisinage de a.

Si P = Rp, l'ensemble Ca (N, Rp) des classes d'équivalence hérite de la structure d'anneau de C(N, Rp) et est appelé l'anneau des germes en a d'applications C de N dans Rp. Notons en particulier En = C0 (RnR) et désignons par Ln ⊂ C0 (RnRn) le groupe des germes en 0 d'applications ϕ : Rn → Rn vérifiant ϕ(0) = 0, avec Dϕ(0) inversible ; la formule ϕ ( f = f ∘ ϕ−1 définit une action de Ln sur En.

L'application ↦ jkf (0) de Rn dans Jk 0(Rn, R) se factorise en une application de En dans Jk 0(Rn, R), encore notée de la même façon (nous confondrons d'ailleurs dans une même notation une fonction et son germe s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point considéré). En est un anneau local dont l'unique idéal maximal est l'ensemble Mn des germes de fonctions nulles en 0. La formule de Taylor montre que Mn n'est autre que l'idéal engendré par x1, ..., xn. Si ∈ En, on note J() l'idéal de En engendré par :

appelé idéal jacobien. Rappelons enfin que, si I et J sont les idéaux engendrés respectivement par α1, ..., αk et par β1, ..., βl, l'idéal produit IJ est engendré par les αiβj, 1 ≤ ≤ k, 1 ≤ ≤ l. Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de ce chapitre, qui est dû à P. Samuel et à J.-C. Tougeron [...]

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/