Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Déformation universelle d'un germe de fonction de détermination finie

Le chapitre précédent est censé rendre naturelles les définitions suivantes (Thom, Mather...).

Si f ∈ En, on appelle R-codimension (right-codimension) de f la codimension dans En de l'idéal jacobien J(f ) considéré comme sous-espace vectoriel :

Nous supposons cette dimension finie ; ce qui équivaut, d'après le chapitre 4, à supposer f de détermination finie. Le R de R-codimension signifie right, c'est-à-dire droite ; en effet, on ne considère que l'action « à droite » de Diff Rn définie par α(ϕ, f ) = f ∘ ϕ−1 en oubliant l'action « à gauche » de Diff R.

Déformation continue d'un germe - crédits : Encyclopædia Universalis France

Déformation continue d'un germe

On appelle déformation à l paramètres de f un germe F ∈ En+l représenté par :

dont la restriction f0 à Rn × 0 coïncide avec f. Il est important de noter qu'il n'existe pas de topologie sur En telle qu'une déformation soit une application continue dans En d'un voisinage de 0 dans Rl : une telle définition serait trop locale, le domaine de définition d'un représentant de ft, t ∈ Rl, pouvant devenir de plus en plus petit lorsque t s'approche de 0, et laissant échapper les points singuliers que l'on veut étudier ; on voit ici pourquoi le problème global se prête mieux à l'intuition géométrique.

Étant donné une déformation F, on lui associe le germe d'application :

défini par F̃(x, t) = (F(x, t), t) : on dit que F̃ est le déploiement à l paramètres de f associé à F.

Deux déformations F et G de f sont isomorphes s'il existe un germe de difféomorphisme :

de la forme :

On peut interpréter Φ comme une famille à l paramètres de difféomorphismes définis sur un ouvert fixé de Rn. Remarquons que seul x ↦ Φ(x, 0) préserve l'origine : demander cela pour tout t revient à considérer l'action sur En du groupe Ln des germes de difféomorphismes de Rn, 0 ; l'espace tangent en f à l'orbite de f est ici MnJ(f ). Lorsque μ(f ) < + ∞, on montre que dim En/MnJ(f ) − dim En/J(f ) = n, ce qui correspond aux n degrés de liberté accordés à Φ(x, t).

Si h  : Rm, 0 → Rl, 0 est un germe d'application, on définit la déformation image réciproqueh*F de F par la formule h*F(x, t) = F(x, h(t)). Une déformation F de f est dite verselle si toute autre déformation de f est isomorphe à une image réciproque de F ; elle est dite universelle (ou miniverselle) si de plus l = μ(f ). On voit facilement que, si F et G sont deux déformations universelles de f, F est isomorphe à l'image réciproque de G par un germe de difféomorphisme.

Dans la situation globale du chapitre précédent, un paramétrage régulier de S au voisinage de f mérite le nom de déformation universelle de f.

La notion opposée est celle de déformation triviale, c'est-à-dire telle que ft soit indépendant de t. La déformation F est triviale si et seulement si ∂F/∂t appartient à l'idéal J(F) de En+l, ce qui implique, pour t = 0, que :

et justifie, s'il est besoin, la définition de la codimension de f.

L'analogue du théorème de structure du chapitre 5 s'énonce alors : Soit f ∈ En un germe de R-codimension finie μ. Une déformation F (à μ paramètres) de f est universelle si et seulement si les classes des germes ∂F/∂ti(x, 0), i = 1, ..., μ, engendrent le R-espace vectoriel En/J(f ).

Nous indiquons une démonstration très simple, due à J. Martinet, de ce théorème dans le cas du germe f ∈ E1 défini par f (x) = xn. Ici J(f ) = M1n−1 et E1/J(f ) ≃ Rn−1 est engendré par les classes des germes 1, x, ..., xn−2 ; un candidat à être une déformation universelle de f est donc :

Soit G(x, s) = xn + g(x, s), avec g(x, 0) = 0, une déformation à 1 paramètre de xn (le[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Classification

Pour citer cet article

Alain CHENCINER. SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Jets d'une fonction quadratique d'une variable - crédits : Encyclopædia Universalis France

Jets d'une fonction quadratique d'une variable

Caractère universel d'une famille transverse - crédits : Encyclopædia Universalis France

Caractère universel d'une famille transverse

Construction de l'application DA(e) - crédits : Encyclopædia Universalis France

Construction de l'application DA(e)

Autres références

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

    • Écrit par Georges GLAESER
    • 5 442 mots
    En 1925, le mathématicien américain Marston Morse a inauguré l'étude des singularités des fonctions de classe Cm en montrant que l'on pouvait approcher toute fonction numérique f de classe Cm à n variables par des fonctions dont les seuls points singuliers sont des points isolés critiques...
  • CATASTROPHES THÉORIE DES

    • Écrit par Jean PETITOT
    • 5 100 mots
    • 10 médias
    ...Globalement, le lieu critique C de π est une courbe régulière (sans singularités) de Σ dont l'image K est une ligne (de points plis) ne pouvant admettre comme singularités que des cusps ou des self-intersections transversales, correspondant à des singularités semi-locales (figure : situation globale avec self-intersections)....

Voir aussi