SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

Déformation universelle d'un germe de fonction de détermination finie

Le chapitre précédent est censé rendre naturelles les définitions suivantes (Thom, Mather...).

Si f ∈ E_n, on appelle R-codimension (right-codimension) de f la codimension dans E_n de l'idéal jacobien J(f ) considéré comme sous-espace vectoriel :

Nous supposons cette dimension finie ; ce qui équivaut, d'après le chapitre 4, à supposer f de détermination finie. Le R de R-codimension signifie right, c'est-à-dire droite ; en effet, on ne considère que l'action « à droite » de Diff Rⁿ définie par α(ϕ, f ) = f ∘ ϕ⁻¹ en oubliant l'action « à gauche » de Diff R.

On appelle déformation à l paramètres de f un germe F ∈ E_n+l représenté par :

dont la restriction f₀ à Rⁿ× 0 coïncide avec f. Il est important de noter qu'il n'existe pas de topologie sur E_n telle qu'une déformation soit une application continue dans E_n d'un voisinage de 0 dans R^l : une telle définition serait trop locale, le domaine de définition d'un représentant de f_t, t ∈ R^l, pouvant devenir de plus en plus petit lorsque t s'approche de 0, et laissant échapper les points singuliers que l'on veut étudier ; on voit ici pourquoi le problème global se prête mieux à l'intuition géométrique.

Étant donné une déformation F, on lui associe le germe d'application :

défini par F̃(x, t) = (F(x, t), t) : on dit que F̃ est le déploiement à l paramètres de f associé à F.

Deux déformations F et G de f sont isomorphes s'il existe un germe de difféomorphisme :

de la forme :

On peut interpréter Φ comme une famille à l paramètres de difféomorphismes définis sur un ouvert fixé de Rⁿ. Remarquons que seul x ↦ Φ(x, 0) préserve l'origine : demander cela pour tout t revient à considérer l'action sur E_n du groupe L_n des germes de difféomorphismes de Rⁿ, 0 ; l'espace tangent en f à l'orbite de f est ici M_nJ(f ). Lorsque μ(f ) < + ∞, on montre que dim E_n/M_nJ(f ) − dim E_n/J(f ) = n, ce qui correspond aux n degrés de liberté accordés à Φ(x, t).

Si h  : R^m, 0 → R^l, 0 est un germe d'application, on définit la déformation image réciproqueh*F de F par la formule h*F(x, t) = F(x, h(t)). Une déformation F de f est dite verselle si toute autre déformation de f est isomorphe à une image réciproque de F ; elle est dite universelle (ou miniverselle) si de plus l = μ(f ). On voit facilement que, si F et G sont deux déformations universelles de f, F est isomorphe à l'image réciproque de G par un germe de difféomorphisme.

Dans la situation globale du chapitre précédent, un paramétrage régulier de S au voisinage de f mérite le nom de déformation universelle de f.

La notion opposée est celle de déformation triviale, c'est-à-dire telle que f_t soit indépendant de t. La déformation F est triviale si et seulement si ∂F/∂t appartient à l'idéal J(F) de E_n+l, ce qui implique, pour t = 0, que :

et justifie, s'il est besoin, la définition de la codimension de f.

L'analogue du théorème de structure du chapitre 5 s'énonce alors : Soit f ∈ E_n un germe de R-codimension finie μ. Une déformation F (à μ paramètres) de f est universelle si et seulement si les classes des germes ∂F/∂t_i(x, 0), i = 1, ..., μ, engendrent le R-espace vectoriel E_n/J(f ).

Nous indiquons une démonstration très simple, due à J. Martinet, de ce théorème dans le cas du germe f ∈ E₁ défini par f (x) = xⁿ. Ici J(f ) = M₁ⁿ⁻¹ et E₁/J(f ) ≃ Rⁿ⁻¹ est engendré par les classes des germes 1, x, ..., xⁿ⁻² ; un candidat à être une déformation universelle de f est donc :

Soit G(x, s) = xⁿ + g(x, s), avec g(x, 0) = 0, une déformation à 1 paramètre de xⁿ (le[...]