SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Déformation universelle d'un germe de fonction de détermination finie

Le chapitre précédent est censé rendre naturelles les définitions suivantes (Thom, Mather...).

Si f ∈ En, on appelle R-codimension (right-codimension) de f la codimension dans En de l'idéal jacobien J() considéré comme sous-espace vectoriel :

Nous supposons cette dimension finie ; ce qui équivaut, d'après le chapitre 4, à supposer f de détermination finie. Le R de R-codimension signifie right, c'est-à-dire droite ; en effet, on ne considère que l'action « à droite » de Diff Rn définie par α(ϕ, ) = f ∘ ϕ−1 en oubliant l'action « à gauche » de Diff R.

On appelle déformation à l paramètres de f un germe F ∈ En+l représenté par :

dont la restriction f0 à R× 0 coïncide avec f. Il est important de noter qu'il n'existe pas de topologie sur En telle qu'une déformation soit une application continue dans En d'un voisinage de 0 dans Rl : une telle définition serait trop locale, le domaine de définition d'un représentant de ft, t ∈ Rl, pouvant devenir de plus en plus petit lorsque t s'approche de 0, et laissant échapper les points singuliers que l'on veut étudier ; on voit ici pourquoi le problème global se prête mieux à l'intuition géométrique.

Déformation continue d'un germe

Déformation continue d'un germe

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Problèmes liés à la définition d'une déformation continue d'un germe. 

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Étant donné une déformation F, on lui associe le germe d'application :

défini par F̃(xt) = (F(xt), t) : on dit que F̃ est le déploiement à l paramètres de f associé à F.

Deux déformations F et G de f sont isomorphes s'il existe un germe de difféomorphisme :

de la forme :

On peut interpréter Φ comme une famille à l paramètres de difféomorphismes définis sur un ouvert fixé de Rn. Remarquons que seul x ↦ Φ(x, 0) préserve l'origine : demander cela pour tout t revient à considérer l'action sur En du groupe Ln des germes de difféomorphismes de Rn, 0 ; l'espace tangent en f à l'orbite de f est ici MnJ(). Lorsque μ() < + ∞, on montre que dim En/MnJ() − dim En/J() = n, ce qui correspond aux n degrés de liberté accordés à Φ(xt).

Si  : Rm, 0 → Rl, 0 est un germe d'application, on définit la déformation image réciproque h*F de F par la formule h*F(xt) = F(xh(t)) [...]

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/