SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications

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Jets d'une fonction quadratique d'une variable

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Caractère universel d'une famille transverse

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Stabilité d'une famille transverse

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Construction de l'application DA(e)

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Codimension d'une fonction

Nous allons interpréter ce qui précède en termes de l'action sur C(N, R) du groupe G = Diff N × Diff R, produit du groupe des difféomorphismes C de N par le groupe des difféomorphismes C de R (changements de coordonnées C à la source et au but). Ce chapitre 5, sans démonstration, est destiné à rendre plus intuitives les définitions qui seront données au chapitre suivant dans le cadre des germes.

Soit f ∈ C(N, R) ; nous dirons que f est stable s'il existe un voisinage U de f dans C(N, R) tel que, pour tout g ∈ U, il existe un difféomorphisme ϕ de N proche de l'identité et un difféomorphisme ψ de R proche de l'identité (et même, si l'on veut, égal à l'identité en dehors d'un voisinage du compact (N)) tels que g = ψ ∘ f ∘ ϕ −1. Autrement dit, f est stable si l'orbite locale de f sous l'action du groupe G est ouverte.

Le problème de la stabilité est facile à résoudre dans le cas d'une action α : G × M → M de classe C d'un groupe de Lie G sur une variété de dimension finie M : il suit, en effet, du théorème du rang constant (qui découle du théorème des fonctions implicites) que les orbites sont des sous-variétés (images d'immersions injectives). Une condition nécessaire et suffisante de stabilité de m ∈ M est donc la surjectivité de la dérivée en l'élément neutre e de G de l'application A : G → M définie par A(γ) = α(γ, m).

Dans le cas où il n'y a pas stabilité, notons Σm ⊂ G le stabilisateur de m et choisissons une sous-variété S de M contenant m dont l'espace tangent en m soit un supplémentaire de l'espace tangent en m à l'orbite G ( m de m. La dimension c(m) de S, qui n'est autre que la codimension de l'image de DA(e), est appelée la codimension de m. La restriction à G × S de α a une dérivée en (em) de rang maximum (submersion), et elle se factorise au voisinage de (em) à travers un difféomorphisme d'un voisinage de (em) dans (G/Σm) × S sur un voisinage U de m dans M.

On en déduit l'existence d'une application C de U dans S × G, p ↦ (λ(p), γ(p)) telle que λ(p) = p, γ(p) = Id pour tout p dans S ∩ U, p = α(γ(p), λ(p)) pour tout p dans

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Pour citer l’article

Alain CHENCINER, « SINGULARITÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES, la théorie mathématique et ses applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/singularites-des-fonctions-differentiables-la-theorie-mathematique-et-ses-applications/