FLUIDES MÉCANIQUE DES

Dynamique des fluides

Tenseur des contraintes

Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :

τ est un vecteur, appelé contrainte du fluide, qui dépend de l'orientation de l'élément de surface. On montre que ce vecteur prend la forme (11) du tableau, où α, β et γ sont les cosinus directeurs de la normale à l'élément de surface. Le tableau constitué par les neuf composantes τ_xx, τ_xy, τ_xz,... est appelé le tenseur des contraintes du fluide. Il est symétrique par rapport à la diagonale et ses composantes sont des fonctions des coordonnées et du temps.

Loi de comportement

Le champ tensoriel des contraintes est lié au champ vectoriel des vitesses par une expression appelée loi de comportement du fluide. Pour un gaz ou un liquide ordinaire (à l'exclusion des suspensions et des solutions de macromolécules), il existe des relations linéaires entre les composantes du tenseur des contraintes et les dérivées partielles d'espace des composantes de la vitesse, qui sont également au nombre de neuf. On dit alors que le fluide est newtonien : dans l'équation (12), les indices i et k peuvent être remplacés par x, par y ou par z, les variables indépendantes indicées étant x₁ = x, x₂ = y et x₃ = z ; le symbole de Kronecker δ_ik est égal à 1 si les indices i et k sont identiques, et à 0 si ces indices sont différents ; μ est le coefficient de viscosité dynamique. Le rapport ν = μ/ρ de la viscosité à la masse volumique est appelé viscosité cinématique.

Équations de Navier-Stokes

La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques.

Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z. D (ρV_i)/D

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 14 pages

Afficher les 4 médias de l'article