FLUIDES MÉCANIQUE DES

Dynamique des fluides

Tenseur des contraintes

Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :

τ est un vecteur, appelé contrainte du fluide, qui dépend de l'orientation de l'élément de surface. On montre que ce vecteur prend la forme (11) du tableau, où α, β et γ sont les cosinus directeurs de la normale à l'élément de surface. Le tableau constitué par les neuf composantes τ_xx, τ_xy, τ_xz,... est appelé le tenseur des contraintes du fluide. Il est symétrique par rapport à la diagonale et ses composantes sont des fonctions des coordonnées et du temps.

Loi de comportement

Le champ tensoriel des contraintes est lié au champ vectoriel des vitesses par une expression appelée loi de comportement du fluide. Pour un gaz ou un liquide ordinaire (à l'exclusion des suspensions et des solutions de macromolécules), il existe des relations linéaires entre les composantes du tenseur des contraintes et les dérivées partielles d'espace des composantes de la vitesse, qui sont également au nombre de neuf. On dit alors que le fluide est newtonien : dans l'équation (12), les indices i et k peuvent être remplacés par x, par y ou par z, les variables indépendantes indicées étant x₁ = x, x₂ = y et x₃ = z ; le symbole de Kronecker δ_ik est égal à 1 si les indices i et k sont identiques, et à 0 si ces indices sont différents ; μ est le coefficient de viscosité dynamique. Le rapport ν = μ/ρ de la viscosité à la masse volumique est appelé viscosité cinématique.

Équations de Navier-Stokes

La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques.

Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z. D (ρV_i)/Dt est une composante de la dérivée particulaire du vecteur ρV, quantité de mouvement volumique du fluide. Cette dérivée doit son nom au fait qu'elle est la dérivée par rapport au temps du vecteur ρV dans un référentiel qui se déplace avec la particule fluide (14). F_i est une composante du champ vectoriel des forces volumiques, c'est-à-dire, par exemple, composante du champ de gravitation, du champ des forces centrifuges et des forces de Coriolis (pour les fluides en rotation par rapport à un référentiel fixe), du champ des forces de Lorentz (pour les fluides conducteurs dans un champ magnétique) ou de leurs combinaisons.

Si l'on introduit la loi de comportement (12) dans l'équation (13) de conservation de la quantité de mouvement, on obtient un système de trois équations non linéaires aux dérivées partielles du second ordre appelées équations de Navier-Stokes (15), où les indices i, k, l sont obtenus par permutation circulaire des nombres 1, 2, 3.

Pour résoudre les équations et obtenir le champ des vitesses, par exemple autour d'un obstacle, il faut tenir compte des conditions aux limites à satisfaire :

– sur les obstacles solides, il doit y avoir égalité des vitesses locales du fluide et du solide (condition de non-glissement) ;

– sur les interfaces avec un autre fluide non miscible, il doit y avoir non seulement égalité des vitesses des deux fluides, mais encore égalité des contraintes tangentielles. En outre, les contraintes normales doivent satisfaire à la loi de Laplace (8).

La description complète d'un écoulement nécessite la connaissance des champs de vitesse, des champs de pression et de la masse volumique en chaque point. Il faut ainsi déterminer cinq fonctions des coordonnées spatiales et du temps à l'aide des cinq équations constituées par les trois équations de Navier-Stokes (15), par l'équation de continuité (4) et par l'équation d'état qui lie la pression, la masse volumique et la température. Si la masse volumique ne peut être considérée comme uniforme, il faut, pour déterminer le champ des températures, faire intervenir l'équation de conservation de l'énergie (16), où D est une fonction de dissipation (17) qui correspond à la production de chaleur par le frottement interne, h l'enthalpie massique et λ la conductivité [...]

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