FLUIDES MÉCANIQUE DES

Dynamique des fluides

Tenseur des contraintes

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :

τ est un vecteur, appelé contrainte du fluide, qui dépend de l'orientation de l'élément de surface. On montre que ce vecteur prend la forme (11) du tableau, où α, β et γ sont les cosinus directeurs de la normale à l'élément de surface. Le tableau constitué par les neuf composantes τxx, τxy, τxz,... est appelé le tenseur des contraintes du fluide. Il est symétrique par rapport à la diagonale et ses composantes sont des fonctions des coordonnées et du temps.

Loi de comportement

Le champ tensoriel des contraintes est lié au champ vectoriel des vitesses par une expression appelée loi de comportement du fluide. Pour un gaz ou un liquide ordinaire (à l'exclusion des suspensions et des solutions de macromolécules), il existe des relations linéaires entre les composantes du tenseur des contraintes et les dérivées partielles d'espace des composantes de la vitesse, qui sont également au nombre de neuf. On dit alors que le fluide est newtonien : dans l'équation (12), les indices i et k peuvent être remplacés par x, par y ou par z, les variables indépendantes indicées étant x1 = x, x2 = y et x3 = z ; le symbole de Kronecker δik est égal à 1 si les indices i et k sont identiques, et à 0 si ces indices sont différents ; μ est le coefficient de viscosité dynamique. Le rapport ν = μ/ρ de la viscosité à la masse volumique est appelé viscosité cinématique.

Équations de Navier-Stokes

La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques.

Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z. D (ρVi)/Dt est une composante de la dérivée particulaire du vecteur ρV, quantité de mouvement volumique du fluide. Cette dérivée doit son nom au fait qu'elle est la dérivée par rapport au temps du vecteur ρV dans un référentiel qui se déplace avec la particule fluide (14). Fi est une composante du champ vectoriel des forces volumiques, c'est-à-dire, par exemple, composante du champ de gravitation, du champ des forces centrifuges et des forces de Coriolis (pour les fluides en rotation par rapport à un référentiel fixe), du champ des forces de Lorentz (pour les fluides conducteurs dans un champ magnétique) ou de leurs combinaisons.

Si l'on introduit la loi de comportement (12) dans l'équation (13) de conservation de la quantité de mouvement, on obtient un système de trois équations non linéaires aux dérivées partielles du second ordre appelées équations de Navier-Stokes (15), où les indices i, k, l sont obtenus par permutation circulaire des nombres 1, 2, 3.

Pour résoudre les équations et obtenir le champ des vitesses, par exemple autour d'un obstacle, il faut tenir compte des conditions aux limites à satisfaire :

– sur les obstacles solides, il doit y avoir égalité des vitesses locales du fluide et du solide (condition de non-glissement) ;

– sur les interfaces avec un autre fluide non miscible, il doit y avoir non seulement égalité des vitesses des deux fluides, mais encore égalité des contraintes tangentielles. En outre, les contraintes normales doivent satisfaire à la loi de Laplace (8).

La description complète d'un écoulement nécessite la connaissance des champs de vitesse, des champs de pression et[...]

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Écrit par

  • Jean-François DEVILLERS : docteur ès sciences, chef de la section fluides et thermique à l'École nationale supérieure des techniques avancées
  • Claude FRANÇOIS : ingénieur en chef de l'Armement, professeur à l'École nationale supérieure des techniques avancées, maître de conférences à l'École polytechnique, directeur de l'enseignement militaire à la Délégation générale pour l'armement, Arcueil
  • Bernard LE FUR : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur du laboratoire de mécanique théorique de l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie

Classification

Pour citer cet article

Jean-François DEVILLERS, Claude FRANÇOIS, Bernard LE FUR, « FLUIDES MÉCANIQUE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

Médias

Archimède

Archimède

Archimède

Le savant grec Archimède (287 av. J.-C.-212 av. J.-C.).

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Équations de la dynamique des fluides

Turbulences en fonction du nombre de Reynolds

Turbulences en fonction du nombre de Reynolds

Turbulences en fonction du nombre de Reynolds

Couche de mélange air/azote, montrant les grosses structures cohérentes, et les petites structures…

Autres références

  • AÉRODYNAMIQUE

    • Écrit par Bruno CHANETZ, Jean DÉLERY, Jean-Pierre VEUILLOT
    • 6 359 mots
    • 7 médias
    Les équations dites de Navier-Stokes 'constituent le principal modèle mathématique de l'aérodynamique « classique », c'est-à-dire limitée au régime continu pour lequel les échelles de longueur caractéristiques sont grandes par rapport au libre parcours moyen des molécules et à des niveaux d'énergie excluant...
  • COANDA EFFET

    • Écrit par Bertrand DREYFUS
    • 496 mots

    Étrange phénomène de la mécanique des fluides, découvert par hasard, à la suite d'un contretemps, au cours d'une expérience d'aéronautique, par l'ingénieur aérodynamicien roumain Henri Coanda (1886-1972), qui lui donna son nom.

    L'effet Coanda se présente de la manière...

  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

    • Écrit par Claude BARDOS
    • 9 353 mots
    • 3 médias
    Pour comprendre la difficulté du problème, on peut considérer un modèle « abstrait » qui décrit la distribution des vitesses d'un fluide monodimensionnel sans force extérieure. Le mouvement des particules est donné par l'équation différentielle ordinaire :
    et la relation fondamentale...
  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

    • Écrit par Martin ZERNER
    • 5 474 mots
    • 1 média
    ...précède, on peut remplacer l'énergie interne par la concentration d'une solution sans rien changer d'autre. Des raisonnements analogues s'appliquent aux fluides circulant dans un milieu poreux. Très simples dans le cas d'un liquide saturant les pores, les équations deviennent beaucoup plus compliquées dans...
  • ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 367 mots
    • 2 médias

    Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(xyz) où les coordonnées x, y et z correspondent à tous les points de l’espace occupés par le mobile traçant ainsi sa trajectoire....

  • Afficher les 34 références

Voir aussi