FLUIDES MÉCANIQUE DES

Écoulements de fluides parfaits

Écoulements incompressibles

Lorsque les valeurs maximales des vitesses d'écoulement et des différences de température entre les obstacles et le fluide sont faibles, on peut considérer que la masse volumique reste pratiquement constante. Les écoulements sont alors appelés incompressibles. L'équation de conservation de la quantité de mouvement (18), sous la forme donnée par Euler, devient alors :

ou encore :

Cette dernière forme se simplifie pour les écoulements irrotationnels.

Écoulements unidimensionnels

Un écoulement qui se produit dans une conduite dont la section varie lentement peut être étudié approximativement en supposant que la vitesse V est perpendiculaire à la section droite et uniforme dans cette section. La vitesse ne dépend donc que d'une seule dimension, l'abscisse curviligne de l'axe de la conduite, d'où le nom d'écoulement unidimensionnel donné à ce type d'écoulement.

En intégrant les équations (22), on obtient, pour un écoulement permanent, dans le cas où les forces volumiques sont les forces de pesanteur, la relation de Bernoulli :

Le binôme p + (1/2) ρ V², somme de la pression statique p et de la pression dynamique (ρ V²)/2, est appelé pression totale de l'écoulement. Cette pression totale est constante, si l'on ne tient pas compte des effets de la pesanteur.

En outre, le débit massique à travers la conduite est constant :

A étant l'aire de la section droite.

La relation de Bernoulli et la relation (24) permettent, par exemple, de montrer que, dans un tube de Venturi, qui est une tuyère convergente-divergente, autrement dit une tuyère dont la section passe par un minimum, la différence de pression entre le col et l'entrée de la tuyère est proportionnelle au carré du débit qui la traverse.

La relation (23) s'applique également le long d'une ligne de courant générale d'un écoulement irrotationnel.

Écoulements bidimensionnels

Un écoulement bidimensionnel est un écoulement dont les vitesses sont toutes parallèles à un plan et dont les composantes des vitesses ne dépendent que des coordonnées de ce plan. Dans un écoulement bidimensionnel, irrotationnel et permanent, la vitesse dépend d'un potentiel Φ (x, y) :

Ce potentiel est harmonique, c'est-à-dire qu'il obéit à l'équation de Laplace :

D'après l'équation de conservation de la masse (4), on a :

On en tire les relations suivantes :

Ψ (x, y), appelée fonction de courant, est également une fonction harmonique :

Le long des lignes de courant, Ψ est constant. D'après les relations (25) et (28), les lignes de courant sont orthogonales aux lignes équipotentielles qui sont les lignes le long desquelles Φ reste constant.

On groupe le potentiel et la fonction de courant sous la forme d'un expression binôme, dite potentiel complexe :

où i = √ − 1 et où F(z) est une fonction analytique de la variable complexe z = x + iy, c'est-à-dire une fonction dont la dérivée ne dépend pas de la façon dont on fait varier la différentielle dz. Cette dérivée s'écrit :et s'appelle vitesse complexe. Voici quelques exemples de potentiels complexes.

Pour un écoulement uniforme :

la constante étant un nombre complexe quelconque.

Pour un écoulement autour d'une source ou d'un puits placé en un point d'affixe z₀ :

C étant un nombre réel.

On peut construire d'autres écoulements en superposant des écoulements de ce type ou encore en utilisant la représentation conforme qui permet de passer d'un écoulement bidimensionnel à un autre écoulement bidimensionnel par une transformation convenable des coordonnées.

Écoulements de fluides compressibles

Nombre de Mach

Pour un gaz parfait, l'équation d'état est de la forme :

où R = 8 314 J mole^{-1 0}C^-1 est la constante des gaz parfaits et M la masse moléculaire du gaz.

Les petites variations de la pression se propagent par rapport au fluide avec une célérité c, appelée célérité du son, qui est donnée par la formule :

(∂p/∂ρ)_s est la dérivée partielle de la pression par rapport à la masse volumique pour une entropie S constante. γ = c_p/c_v est le rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constants du gaz, pour une valeur de γ = (3 + 2 n)/(1 + 2 n), n étant le nombre d'atomes de la molécule gazeuse.

Lorsque les vitesses V d'un écoulement ne peuvent plus être considérées comme négligeables par rapport à la célérité du son, il faut abandonner l'hypothèse de l'invariabilité de la masse volumique. Cette masse volumique est alors une fonction du nombre de Mach local M, rapport de la vitesse locale V à la célérité locale du son c :

Si le nombre de Mach à l'infini amont M∞ est inférieur à l'unité, on dit que l'écoulement est subsonique. Si M∞ est supérieur à l'unité, l'écoulement est dit supersonique. Lorsque M∞ est voisin de l'unité, on parle d'écoulement transsonique, l'écoulement présentant alors des parties subsoniques et des parties supersoniques. Dans le cas d'un écoulement supersonique, les petites perturbations de pression en un point se propagent le long d'un cône, appelé cône de Mach. Ce cône a pour axe la direction de la vitesse et pour demi-angle l'angle de Mach :

Les lignes qui sont constamment tangentes aux génératrices du cône de Mach local sont les caractéristiques ou les lignes de Mach de l'écoulement.

Le nombre de Mach peut avoir une valeur aussi grande que l'on veut. Lorsque M∞ > 5, on a coutume de parler d'écoulements hypersoniques. La valeur 5 n'a rien de critique, mais c'est environ à partir de cette valeur que certains effets physiques prennent de l'importance, par exemple, la dissociation de l'air.

Écoulements isentropiques unidimensionnels

Dans une conduite, l'équation de conservation de la masse s'écrit :

et se met, sous forme différentielle, de la façon suivante :

L'équation de conservation de la quantité de mouvement devient, lorsqu'on néglige la pesanteur :

Dans le cas d'un écoulement adiabatique d'un fluide idéal, en l'absence d'ondes de choc, l'entropie reste constante dans la conduite et la pression est reliée à la masse volumique par l'expression de la compression isentropique :

ou sous forme différentielle :

En combinant ces relations différentielles, on aboutit à l'équation :

Ainsi, dans une zone subsonique (M < 1), la vitesse V et l'aire A varient en sens inverse, tandis que, dans une zone supersonique (M > 1), la vitesse et l'aire varient dans le même sens. La vitesse ne peut être égale à la célérité locale du son qu'en une section d'aire minimale.

Dans une tuyère convergente-divergente, comme celle d'une soufflerie supersonique ou celle d'une fusée, la détente commence dans le convergent jusqu'à un nombre de Mach unité au col, puis continue dans le divergent, tandis que, pour les écoulements subsoniques, la détente dans le convergent est suivie d'une recompression.

L'équation de conservation de l'énergie s'exprime en écrivant que la somme de l'enthalpie h et de l'énergie cinétique par unité de masse est constante :

où h_t est l'enthalpie totale, enthalpie de l'écoulement pour une vitesse nulle.

Si la [...]

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