MATIÈRE (physique)Plasmas

Description mathématique des plasmas

Il existe deux niveaux de description des plasmas, la description fluide et la description cinétique. Dans le premier cas, les différentes composantes du plasma, électrons, ions, et éventuellement particules neutres, sont décrites par des grandeurs fluides ou macroscopiques, comme la densité, la vitesse moyenne, la température, la pression, le flux de chaleur, etc. Dans cette terminologie, la température désigne en fait la quantité égale à (2/3 k_B) fois l'énergie cinétique moyenne des particules considérées, que la répartition des vitesses corresponde ou non à une courbe gaussienne caractéristique de l'équilibre thermodynamique. Les grandeurs fluides satisfont des équations d'évolution spatio-temporelles, appelées « équations fluides », qui traduisent la conservation du nombre total de particules, de l'impulsion et de l'énergie. Il est des situations cependant où la description fluide ne permet pas d'atteindre un degré de précision suffisant. On utilise alors la description cinétique, où chaque composante du plasma est décrite par une fonction de distribution f(r,v,t). Celle-ci correspond à une moyenne statistique sur un grand nombre de réalisations du système physique considéré. Le produit fdrdv est le nombre moyen de particules de l'espèce considérée dont la position et la vitesse se trouvent respectivement dans un élément de volume dr de l'espace ordinaire et dans un élément de volume dv de l'espace des vitesses, centrés respectivement autour des valeurs r et v. La fonction de distribution contient une information bien supérieure à celle contenue dans les grandeurs fluides, puisqu'elle inclut tous les détails de la répartition des vitesses des particules. L'emploi de la description cinétique est particulièrement nécessaire dans les situations où la fonction de distribution s'écarte sensiblement de la courbe gaussienne correspondant à l'équilibre thermodynamique. Cette fonction est alors appelée fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann (ou maxwellienne). L'évolution spatio-temporelle de la fonction de distribution d'une espèce de particules est gouvernée par une équation cinétique.

Pour les plasmas chauds, quand il est possible de négliger les collisions binaires entre particules, celles-ci n'interagissent plus que par l'intermédiaire de champs électrique et magnétique moyens, au sens de la moyenne statistique sur un grand nombre de réalisations. L'équation cinétique correspondante est l'équation de Vlasov :

qui traduit simplement la conservation de f le long des trajectoires de particules soumises aux champs moyens E et B. Cette équation, couplée aux équations de Maxwell qui régissent l'évolution des champs E et B en présence de la densité de charge moyenne ρ et du courant moyen j, constitue l'équation fondamentale de la physique des plasmas chauds. L'équation de Vlasov ne permet cependant pas de décrire les phénomènes de relaxation (retour vers l'équilibre), qui nécessitent la prise en compte de corrections liées au rôle des collisions binaires.

Pour les plasmas partiellement ionisés, il est également nécessaire d’ajouter à l’équation de Vlasov des termes traduisant l’effet des collisions élastiques et inélastiques. On aboutit alors à une équation du type équation de Boltzmann, analogue à celle des gaz. Pour les plasmas denses, en revanche, les théories utilisant la notion de champs moyens sont incorrectes et les méthodes d’étude sont plus complexes.

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